ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 511419 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы половинного аргумента

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение: $16 синус в степени 4 x плюс 8 косинус 2x минус 7=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0,5 Пи ;2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Воспользуемся формулой $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби .$ Из неё следует, что $синус в степени 4 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка .$ Поэтому из исходного уравнения получаем:

$4 косинус в квадрате 2x минус 8 косинус 2x плюс 4 плюс 8 косинус 2x минус 7=0 равносильно 4 косинус в квадрате 2x=3 равносильно косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$ $4 косинус в квадрате 2x минус 8 косинус 2x плюс 4 плюс 8 косинус 2x минус 7=0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в квадрате 2x=3 равносильно косинус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Приведём другое решение.

$16 синус в степени 4 x плюс 8 косинус 2x минус 7=0 равносильно 16 синус в степени 4 x плюс 8 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 7=0 равносильно 16 синус в степени 4 x минус 16 синус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$ $16 синус в степени 4 x плюс 8 косинус 2x минус 7=0 равносильно 16 синус в степени 4 x плюс 8 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 7=0 равносильно$
$равносильно 16 синус в степени 4 x минус 16 синус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$ $16 синус в степени 4 x плюс 8 косинус 2x минус 7=0 равносильно$
$равносильно 16 синус в степени 4 x плюс 8 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 7=0 равносильно$
$равносильно 16 синус в степени 4 x минус 16 синус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$

$равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x=\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента равносильно$
$равносильно синус x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$ $равносильно синус в квадрате x= дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x=\pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби конец аргумента равносильно$
$равносильно синус x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x=\pm арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим

$минус арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи ;$ $минус арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи ;$ $арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи ;$

$арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи ;$ $минус арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи ;$ $минус арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи .$

Ответ: a) $\pm арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $\pm арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи ;$ $минус арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ; дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$ a) $\pm арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z ;$ б) $\pm арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи ;$ $минус арксинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи .$

Аналоги к заданию № 511419: 515825 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип 13 № 515825 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть 2)

Методы алгебры: Замена переменной, Формулы половинного аргумента, Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $2 синус в степени 4 x плюс 3 косинус 2x плюс 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Воспользуемся формулой $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби .$ Из неё следует, что $синус в степени 4 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x плюс 1 правая круглая скобка .$ Поэтому уравнение можно преобразовать так:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус в квадрате 2x минус косинус 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3 косинус 2x плюс 1=0 равносильно косинус в квадрате 2x плюс 4 косинус 2x плюс 3=0.$

Сделаем замену $t= косинус 2x.$ Получим

Not match begin/end align

Откуда $косинус 2x= минус 3$ или $косинус 2x= минус 1.$

Уравнение $косинус 2x= минус 3$ не имеет решений. Из уравнения $косинус 2x= минус 1$ получаем

$2x= Пи плюс 2 Пи k,k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку. Получим числа: $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 511419: 515825 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть 2)

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 2 комментария · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе