Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 515670

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.

Решение.

а) Пусть АВ — диаметр большей из трёх окружностей, О — её центр, O1 — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O2 — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка АВ — в точке Е. Точки О, O2 и С лежат на одной прямой, поэтому OO2 = ОС − O2С = ОС − R. Аналогично ОО1 = OA − О1А = ОА − r и O1O2 = O1D + O2D = r + R. Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен

OO_1 плюс OO_2 плюс O_1O_2 = OA минус r плюс OC минус R плюс r плюс R = OA плюс OC = 2OA = AB.

 

 

б) Пусть OA = 3, r = 2. Тогда O2Е = R, O1O2 = 2 + R, OO1 = OA − О1А = 3 − 2 = 1, OO2 = ОС − O2С = 3 − R. Из прямоугольных треугольников O1O2Е и OO2Е находим, что

О_1Е = корень из { O_1O в степени 2 _2 минус O_2Е в степени 2 } = корень из { (2 плюс R) в степени 2 минус R в степени 2 } = корень из { 4 плюс 4R},

OE= корень из { OO в степени 2 _2 минус O_2E в степени 2 } = корень из { (3 минус R) в степени 2 минус R в степени 2 } = корень из { 9 минус 6R},

а так как О1E = OO1 + ОЕ, то  корень из { 4 плюс 4R} = 1 плюс корень из { 9 минус 6R}. Из этого уравнения находим, что R = 0,96 .

 

Ответ: 0,96.


Аналоги к заданию № 507237: 507211 515670 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 2. (Часть C).
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей