PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим три случая.
1) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
2) Если 
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
3) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Таким образом, в первом случае мы получаем дугу 
параболы 
c концом в точке 
во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем — дугу 
параболы 
с концом в точке А (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой 
или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −3.
Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения 
и 
как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при 
и 
прямые m касаются дуг и соответственно.
Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой при и 
имеет две общие точки с дугой при 
имеет одну общую точку с дугой при 
и 
имеет две общие точки с дугой при 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| C помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличащееся от искомого только включением/исключением точки а = −3 | 3 |
C помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a:  или  ; возможно, с включением граничных точек | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл: | 4 |