РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 514525 Добавить в вариант

Источники:

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (часть 2).

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n левая круглая скобка n больше или равно 3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних стоящих рядом с ним членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б)  Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  10?

Решение. а)  Например, последовательность 1, 12, 17, 20.

б)  Например, последовательность 1, 12, 20, 20, 12, 1.

в)  Для $2 меньше или равно k меньше или равно 9$ выполнено неравенство

$дробь: числитель: a_k минус 1 плюс a_k плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a_k равносильно a_k минус 1 плюс a_k плюс 1 меньше 2a_k равносильно a_k плюс 1 минус a_k меньше a_k минус a_k минус 1,$

то есть последовательность разностей соседних членов последовательности убывает  — это необходимое и достаточное условие. Пусть $d_k = a_k плюс 1 минус a_k,$ тогда, как показано выше,

$d_k меньше или равно d_k минус 1 минус 1 меньше или равно d_k минус 2 минус 2 меньше или равно \ldots меньше или равно d_1 минус k плюс 1,$

а значит,

$a_1 = a_k минус d_k минус 1 минус \ldots минус d_1 меньше или равно a_k минус левая круглая скобка d_k плюс 1 правая круглая скобка минус \ldots минус левая круглая скобка d_k плюс k минус 1 правая круглая скобка = a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_1 = a_k минус d_k минус 1 минус \ldots минус d_1 меньше или равно a_k минус левая круглая скобка d_k плюс 1 правая круглая скобка минус \ldots минус левая круглая скобка d_k плюс k минус 1 правая круглая скобка =$
$= a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_1 =$
$= a_k минус d_k минус 1 минус \ldots минус d_1 меньше или равно a_k минус левая круглая скобка d_k плюс 1 правая круглая скобка минус \ldots минус левая круглая скобка d_k плюс k минус 1 правая круглая скобка =$
$= a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$a_10 = a_k плюс d_k плюс \ldots плюс d_9 меньше или равно a_k плюс d_k плюс левая круглая скобка d_k минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка d_k минус 9 плюс k правая круглая скобка = a_k плюс левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: левая круглая скобка 9 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ $a_10 = a_k плюс d_k плюс \ldots плюс d_9 меньше или равно a_k плюс d_k плюс левая круглая скобка d_k минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка d_k минус 9 плюс k правая круглая скобка =$
$= a_k плюс левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: левая круглая скобка 9 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$ $a_10 =$
$= a_k плюс d_k плюс \ldots плюс d_9 меньше или равно a_k плюс d_k плюс левая круглая скобка d_k минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка d_k минус 9 плюс k правая круглая скобка =$
$= a_k плюс левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: левая круглая скобка 9 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Заметим, что $a_1 больше или равно 1$ и $a_10 больше или равно 1,$ откуда

$a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1,$

$a_k плюс левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: левая круглая скобка 9 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1.$

Умножив первое неравенство на $10 минус k,$ а второе на $k минус 1$ и сложив их, получаем:

$9a_k минус дробь: числитель: 9 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 9 равносильно a_k больше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1.$

Таким образом,

$a_1 больше или равно 1,$

$a_2 больше или равно 5,$

$a_3 больше или равно 8,$

$a_4 больше или равно 10,$

$a_5 больше или равно 11,$

$a_6 больше или равно 11,$

$a_7 больше или равно 10,$

$a_8 больше или равно 8,$

$a_9 больше или равно 5,$

$a_10 больше или равно 1,$

а их сумма не меньше 70. Последовательность 1, 5, 8, 10, 11, 11, 10, 8, 5, 1 удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 70.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  70.

Примечание.

Решение аналогичной задачи 562820 записано нами в более конкретном (и менее общем) виде.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 562763, разработанным для досрочной волны ЕГЭ по математике 2021 года (сам экзамен не проводился из-за вирусной пандемии).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — в п. в приведён пример последоватеоьности, сумма членов которой равна 70; — в п. в обоснованно, что не существует последовательности, сумма членов которой меньше 70	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  да; в)  70.

514525

а)  да; б)  да; в)  70.

Источники:

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (часть 2).

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514525	а)  да; б)  да; в)  70.