PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость 
параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.
а) Докажите, что плоскость 
делит ребро NN1 пополам.
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK1 = 4 .
Решение. Пусть четырёхугольник ELGF — сечение данной призмы плоскостью α (см. рис.). Прямая KM параллельна плоскости α, а плоскость KMG пересекает плоскость α по прямой EG, следовательно, EG || KM и, значит, KMGE — прямоугольник. Прямые NL и KM являются соответственно проекциями прямых FL и EG на плоскость KLM, значит, точка пересечения прямых KM и NL (точка H) является проекцией точки пересечения прямых FL и EG (точки O) на эту плоскость. Таким образом,
C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника FLN и, следовательно, 
откуда и следует доказываемое утверждение.
б) Пусть точка D ― середина отрезка FN. Тогда EK = FD и EK || FD, следовательно, EKDF ― параллелограмм и, значит, EF || KD. Так как и EG || KM , то (KDM) || (EFG) и, значит, 
Поскольку KLMN ― квадрат, то NH ⊥ KM, но тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, и DH ⊥ KM. Таким образом, 
― линейный угол двугранного угла 
Из прямоугольного треугольника DNH находим 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |