Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Но 
по теореме о трех перпендикулярах — проекция AS на плоскость основания пирамиды — прямая 
Значит, и 
то есть 
Тогда 
Кроме того, 
откуда 
Тогда высота боковой грани пирамиды 
и площадь поверхности пирамиды 
2
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
как диагонали квадрата, по теореме о трех перпендикулярах 
поэтому 
Введем координаты, направив оси из точки O параллельно сторонам квадрата и через вершину S. Обозначая высоту пирамиды за 2h, находим координаты точек B (2, 2, 0), C (-2, 2, 0), A (2, -2, 0), S (0, 0, 2h), L (-1, 1, h). Тогда 
и высота пирамиды 
Тогда апофема 
и площадь поверхности 