СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513105

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 4 и MK = 12.

Решение.

а) Точки M и D лежат на окружностях с диаметрами BC и AB соответственно, поэтому

Прямые AD и MC перпендикулярны одной и той же прямой MD, следовательно, прямые AD и MC параллельны.

б) Пусть O — центр окружности с диаметром BC. Тогда прямые OM и AM перпендикулярны. Учитывая, что прямые BK и AM перпендикулярны, получаем, что прямые OM и BK параллельны. Обозначим BK через x. Треугольник AMO подобен треугольнику AKB с коэффициентом 4, поэтому OB = OM = 4x. Опустим перпендикуляр BP из точки B на прямую OM. Так как четырёхугольник BKMP — прямоугольник,

По теореме Пифагора OB2 = BP2 + OP2, откуда 16x2 = 144 + 9x2. Получаем, что

Поскольку прямые AD и MC параллельны,

Значит, треугольники DBC и AMB равновелики. Следовательно,

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 513103: 513104 513105 Все

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники