PDF-версии: 
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.
Решение. а) Пусть точка H — середина AC. Тогда
Вместе с тем,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.
б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1. Отметим, что прямые NP и A1A взаимно перпендикулярны, поскольку ребро призмы перпендикулярно ее основанию. Следовательно, прямая NP перпендикулярна плоскости ABB1 боковой грани призмы. Поэтому прямая MP — проекция прямой MN на плоскость ABB1.
Прямые BM и MN взаимно перпендикулярны, поэтому, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, прямые BM и MP также взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого двугранного угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть 
Поэтому
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |