Ре­ше­ние. а)  Пусть АВ  — диа­метр боль­шей из трёх окруж­но­стей, О  — её центр, O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са r у ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром АВ в точке А, O₂  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са R, ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром АВ в точке С, окруж­но­сти с цен­тром O₁  — в точке D, от­рез­ка АВ  — в точке Е. Точки О, O₂ и С лежат на одной пря­мой, по­это­му OO₂  =  ОС − O₂С  =  ОС − R. Ана­ло­гич­но ОО₁  =  OA − О₁А  =  ОА − r и O₁O₂  =  O₁D + O2D  =  r + R. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка OO₁O₂ равен

б)  Пусть OA  =  6, r  =  2. Тогда по­лу­ча­ем: O₂Е  =  R, O₁O₂  =  2 + R, OO₁  =  OA − О₁А  =  6 − 2  =  4, OO₂  =  ОС − O₂С  =  6 − R. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков O₁O₂Е и OO₂Е на­хо­дим, что

а так как О₁E  =  OO₁ + ОЕ, то Из этого урав­не­ния на­хо­дим, что R = 3 (это зна­чит, что диа­метр ис­ко­мой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су наи­боль­шей из трёх окруж­но­стей, то есть точка Е сов­па­да­ет с О).

Ответ: 3.