PDF-версии: 
Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).
Первый случай (рис. 1). AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что
Тогда
Из равенства 8r1 = 12 находим, что r1 = 1,5.
Второй случай. (рис. 2) Пусть AB = BC = 5, CH — высота треугольника ABC, r2 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Тогда
Из прямоугольного треугольника ACH находим, что
Из равенства 
получаем, что 
Рассмотрим третий случай.
Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и 
В этом случаем радиус будет равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |