Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 511399
i

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC с вер­ши­ной S. Точка M  — се­ре­ди­на BC. Ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды равен дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что её про­ти­во­по­лож­ные ребра пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды, если SM  =  4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  От­ре­зок SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мая AM. Но AM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му AM\perp BC. Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, AS\perp BC. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что BS\perp AC, CS\perp AB.

б)  Пусть CK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка BSC. Угол SMH  — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Тогда

MH=SM ко­си­нус \angleSMH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , AM=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , BC=6, SB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BM в квад­ра­те плюс SM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =5.

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BSC. двумя спо­со­ба­ми: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби SM умно­жить на BC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CK умно­жить на SB. Зна­чит, CK= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ребро AC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти SBH, по­это­му SB и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость AKC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SB. Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AKC:

ко­си­нус \angleAKC= дробь: чис­ли­тель: 2KC в квад­ра­те минус AC в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2KC в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

 

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505237: 505247 511399 Все

Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026