PDF-версии: 
Дана правильная треугольная пирамида.
а) Докажите, что её противоположные ребра перпендикулярны.
б) Пусть косинус угла между боковой гранью и основанием равен 
Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Решение. а) Пусть SABC — данная пирамида с вершиной S, SH — ее высота, M — середина BC. Проекцией прямой AS на плоскость основания пирамиды является прямая AM. Но AM − высота треугольника ABC, поэтому
Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, 
Аналогично доказывается, что 
б) Пусть CK — высота равнобедренного треугольника BSC, а AK — равного ему треугольника ASB. Таким образом, искомый угол AKC. Угол SMH — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.
Пусть SM = 6a. тогда
Заметим, что площадь треугольника BSC может быть вычислена двумя способами: 
Значит, 
Теперь мы можем найти искомый угол AKC при вершине равнобедренного треугольника
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |