Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 501458

Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина С, на другой — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB=16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Решение.

Пусть CH — высота треугольника ABC, r и Q — радиус и центр вписанной окружности, CH=6, AH=8, поэтому AC=10. Найдем площадь, полу периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC:

S= дробь, числитель — CH умножить на AB, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 6 умножить на 16, знаменатель — 2 =48, p= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 левая круглая скобка AC плюс AB плюс CB правая круглая скобка =AC плюс AH=18.

Тогда r= дробь, числитель — S, знаменатель — p = дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 . Кроме того, по теореме Пифагора

AQ= корень из { A{{H} в степени 2 } плюс Q{{H} в степени 2 }}= корень из { 64 плюс дробь, числитель — 64, знаменатель — 9 }= дробь, числитель — 8 корень из { 10}, знаменатель — 3 .

Пусть окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC равнобедренного треугольника ABC и данных параллельных прямых. Радиус этой окружности равен 3, поскольку он вдвое меньше расстояния между прямыми. Точку касания окружности с прямой AB обозначим M.

Пусть точки B и M лежат по разные стороны от точки A (рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и AQ — биссектрисы смежных углов \angle MAC и \angle CAB соответственно. Значит, \angle OAQ={{90} в степени 0 }, и \angle MOA=\angle QAH, поскольку эти углы образованы парами соответственно перпендикулярных прямых. Следовательно, прямоугольные треугольники OMA и AHQ подобны с коэффициентом  дробь, числитель — OM, знаменатель — AH = дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 . Поэтому

OQ= корень из { O{{A} в степени 2 } плюс A{{Q} в степени 2 }}= корень из { {{ левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 AQ правая круглая скобка } в степени 2 } плюс A{{Q} в степени 2 }}= корень из { дробь, числитель — 9, знаменатель — 64 плюс 1} умножить на AQ= дробь, числитель — корень из { 73}, знаменатель — 8 умножить на дробь, числитель — 8 корень из { 10}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 730}, знаменатель — 3 .

Пусть точки B и M лежат по одну сторону от точки A (рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи AO и OQ совпадают и являются биссектрисой угла MAC Значит, прямоугольные треугольники AOM и AQH подобны с коэффициентом  дробь, числитель — OM, знаменатель — QH = дробь, числитель — 3, знаменатель — { в степени 8 \!\!\diagup\!\!{}_{3}\;}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 8 . Тогда

OQ=AO минус AQ= дробь, числитель — 9, знаменатель — 8 AQ минус AQ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 умножить на дробь, числитель — 8 корень из { 10}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 10}, знаменатель — 3 .

Ответ:  дробь, числитель — корень из { 730}, знаменатель — 3 , дробь, числитель — корень из { 10}, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 501438: 485970 501458 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники