Пусть CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, r и Q  — ра­ди­ус и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, CH  =  12, AH  =  5, по­это­му AC  =  13. Най­дем пло­щадь, по­лу­пе­ри­метр и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC:

Тогда Кроме того, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Пусть окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых. Ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 6, по­сколь­ку он вдвое мень­ше рас­сто­я­ния между пря­мы­ми. Точку ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мой AB обо­зна­чим M.

Пусть точки B и M лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки A (см. рис.). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO и AQ  — бис­сек­три­сы смеж­ных углов ∠MAC и ∠CAB со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, ∠OAQ  =  90°, и ∠MOA = ∠QAH, по­сколь­ку эти углы об­ра­зо­ва­ны па­ра­ми со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OMA и AHQ по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том По­это­му

Пусть точки B и M лежат по одну сто­ро­ну от точки A (см. рис.). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му лучи AO и AQ сов­па­да­ют и яв­ля­ют­ся бис­сек­три­сой угла MAC. Зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AOM и AQH по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Тогда

Ответ:

Пусть CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной тре­уголь­ник ABC, Q  — центр этой окруж­но­сти. Так как, то Сле­до­ва­тель­но, по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен а его пло­щадь от­ку­да

Пусть Тогда

Пусть окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем пря­мой AB  — в точке M , и не имеет общих точек с бо­ко­вой сто­ро­ной BC (рис. 1). Не­труд­но по­нять, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 3.

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO  — бис­сек­три­са угла Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OAQ на­хо­дим, что

Пусть те­перь окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой cто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем пря­мой AB  — в точке M, и пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну BC(рис. 2).

Тогда точки O и Q лежат на бис­сек­три­се угла Тре­уголь­ник AOM по­до­бен тре­уголь­ни­ку AQHс ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: или

Пусть CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, r и Q  — ра­ди­ус и центр впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му Най­дем пло­щадь, полу пе­ри­метр и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC:

Тогда Кроме того, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Пусть окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых. Ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен по­сколь­ку он вдвое мень­ше рас­сто­я­ния между пря­мы­ми. Точку ка­са­ния окруж­но­сти с пря­мой AB обо­зна­чим

Пусть точки B и M лежат по раз­ные сто­ро­ны от точки A (рис. 1). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO и AQ  — бис­сек­три­сы смеж­ных углов и со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, и по­сколь­ку эти углы об­ра­зо­ва­ны па­ра­ми со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки OMA и AHQ по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том По­это­му

Пусть точки B и M лежат по одну сто­ро­ну от точки A (рис. 2). Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му лучи AO и OQ сов­па­да­ют и яв­ля­ют­ся бис­сек­три­сой угла MAC Зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AOM и AQH по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Тогда

Ответ: