Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 501415

а) Решите уравнение  косинус x(2 косинус x плюс тангенс x)=1.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Область определения данного уравнения задается условием  косинус x не равно 0 (*).

При этом условии имеем:  косинус x(2 косинус x плюс тангенс x)=1 равносильно 2 косинус в квадрате x плюс синус x=1 равносильно 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1=0, откуда  синус x=1 или  синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Корни уравнения  синус x=1 не удовлетворяют условию (*), а из уравнения  синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби получаем x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

б) Из найденных решений промежутку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка принадлежат числа  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Ответ: а) \left\ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z \; б)  минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 501395: 501415 511355 513683 Все

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Слава Славовъ 10.04.2018 09:42

косинус икс не равен нулю, значит нижнюю точку на круге надо тоже вычеркнуть

Александр Иванов

1. Вы правы.

2. Там нечего вычёркивать (мы правы).