Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 500428
i

Точка E  — се­ре­ди­на ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. Точка F лежит на про­дол­же­нии ребра BB1 за точку B1, при­чем 2B1F  =  BB1.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми AE и CA1 равен углу между пря­мы­ми CA1 и A1F.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми AE и CA1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При­мем ребро куба за a. Тогда CA_1=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Про­ве­дем через точку A1 пря­мую, па­рал­лель­ную AE. Она пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ребра BB1 в точке F, при­чем B_1F= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Ис­ко­мый угол равен углу CA1F (или смеж­но­му с ним).

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке A1B1F с пря­мым углом B1 имеем:

A_1F= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1B_1 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс B_1F в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CBF с пря­мым углом B имеем:

CF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CB в квад­ра­те плюс BF в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

В тре­уголь­ни­ке CA1F по тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем:

CF в квад­ра­те =CA в квад­ра­те _1 плюс A_1F в квад­ра­те минус 2 умно­жить на ко­си­нус \angle CA_1F умно­жить на CA_1 умно­жить на A_1F,

от­ку­да

ко­си­нус \angle CA_1F= дробь: чис­ли­тель: CA в квад­ра­те _1 плюс A_1F в квад­ра­те минус CF в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на CA_1 умно­жить на A_1F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ,

а тогда \angleCA_1F= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

 

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

При­ме­ча­ние.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гом виде: \angleCA_1F= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 210 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = арк­тан­генс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та }.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500112: 500408 500428 511342 Все

Классификатор стереометрии: Куб, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026