PDF-версии: 
Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. Точка F лежит на продолжении ребра BB1 за точку B1, причем 2B1F = BB1.
а) Докажите, что угол между прямыми AE и CA1 равен углу между прямыми CA1 и A1F.
б) Найдите угол между прямыми AE и CA1.
Решение. а) Примем ребро куба за a. Тогда
Проведем через точку A1 прямую, параллельную AE. Она пересекает продолжение ребра BB1 в точке F, причем 
Искомый угол равен углу CA1F (или смежному с ним).
б) В прямоугольном треугольнике A1B1F с прямым углом B1 имеем:
В прямоугольном треугольнике CBF с прямым углом B имеем:
В треугольнике CA1F по теореме косинусов получаем:
откуда
а тогда 
Ответ: 
Примечание.
Ответ может быть представлен и в другом виде: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Примечание.
Ответ может быть представлен и в другом виде:
Примечание.
Ответ может быть представлен и в другом виде: