PDF-версии: 
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 14, а отношение катетов треугольника равно 
Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке: предположим, что отрезок отсекает от треугольника ABC треугольник ANM, обозначим точки касания окружности и прямых P, Q, R, S (см. рис. 1). Так как OQMR и OPCS — квадраты, MQ = PC = r, где r — радиус окружности. Кроме того, NQ = NP. Значит, NM = NC. Поскольку BN – биссектриса угла, треугольники NMB и NCB равны по гипотенузе и острому углу.
Пусть CB = 7x, а CA = 24x, тогда по теореме Пифагора находим гипотенузу AB = 25x, откуда AM = AB − BM = 25x − 7x = 18x.
Из подобия треугольников AMN и ACB получаем: 
тогда 
откуда 
Найдём радиус окружности:
Если отрезок отсекает треугольник BMN (рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что BM = 25x − 24x = x.
Из подобия треугольников ACB и NMB следует 
откуда получаем 
и 
В этом случае 
Ответ: 8 или 12,25.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |