Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник ABC, BC  =  6x  — ос­но­ва­ние, AB  =  AC  =  5x. За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии,  — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC. Пусть O  — её центр, а E  — точка ка­са­ния с ос­но­ва­ни­ем BC.

Обо­зна­чим

Так как BO  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABE, то сле­до­ва­тель­но,

Пер­вый слу­чай. Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M, а AC в точке N (рис. 1). Тогда

В тре­уголь­ни­ке AMN, имеем

У опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Вто­рой слу­чай. Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M, а BC в точке N (рис. 2). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BMN имеем

У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка ACNM суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: или

Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник ABC,   — ги­по­те­ну­за, За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии,  — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC. Пусть О  — её центр, а D и Е  — точки ка­са­ния с ка­те­та­ми АС и ВС со­от­вет­ствен­но. Тогда, так как ODCE  — квад­рат, ра­ди­ус этой окруж­но­сти

Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на АВ, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет АВ в точке М, а АС в точке N (рис. 1). Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ANM по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC. В нём

У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим: x  =  8.

Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на АВ, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет АВ в точке М, а ВС в точке N (рис. 2). Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник NBM по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC. В нём У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим: x  =  9.

Ответ: 8 или 9.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: пред­по­ло­жим, что от­ре­зок от­се­ка­ет от тре­уголь­ни­ка ABC тре­уголь­ник ANM, обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­сти и пря­мых P, Q, R, S (см. рис. 1). Так как OQMR и OPCS  — квад­ра­ты, MQ  =  PC  =  r, где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Кроме того, NQ  =  NP. Зна­чит, NM  =  NC. По­сколь­ку BN – бис­сек­три­са угла, тре­уголь­ни­ки NMB и NCB равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу.

Пусть CB  =  7x, а CA  =  24x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим ги­по­те­ну­зу AB  =  25x, от­ку­да AM  =  AB − BM  =  25x − 7x  =  18x.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMN и ACB по­лу­ча­ем: тогда от­ку­да

Найдём ра­ди­ус окруж­но­сти:

Если от­ре­зок от­се­ка­ет тре­уголь­ник BMN (рис. 2), то, рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что BM  =  25x − 24x  =  x.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ACB и NMB сле­ду­ет от­ку­да по­лу­ча­ем и

В этом слу­чае

Ответ: 8 или 12,25.

Обо­зна­чим тре­уголь­ник ABC. Пред­по­ло­жим, что от­ре­зок NM от­се­ка­ет от тре­уголь­ни­ка ABC тре­уголь­ник ANM.

Обо­зна­чим точки ка­са­ния окруж­но­сти и пря­мых P, Q, R, S. Так как OQMR и OPCS  — квад­ра­ты, MQ  =  PC  =  r, где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Кроме того, NQ  =  NP. Зна­чит, NM  =  NC. BN  — бис­сек­три­са угла ABC.

Тре­уголь­ни­ки NMB и NCB равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Пусть CB  =  8x, а CA  =  15x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AB  =  17x. Тогда AM  =  AB − BM  =  17x − 8x  =  9x. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMN и ACB по­лу­ча­ем: от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Найдём ра­ди­ус окруж­но­сти:

Если от­ре­зок от­се­ка­ет тре­уголь­ник BNM, то, рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим, что BM  =  17x − 15x  =  2x. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ACB и NMB по­лу­ча­ем: от­ку­да Тогда r  =  3x  =  32.

Ответ: 25 или 32.

Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник ABC,   — ос­но­ва­ние, За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии,  — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник Пусть O  — её центр, а E  — точка ка­са­ния с ос­но­ва­ни­ем

Обо­зна­чим

Так как BO  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABE, то сле­до­ва­тель­но,

Пер­вый слу­чай. Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M, а AC в точке N (рис. 1). Тогда

В тре­уголь­ни­ке AMN, имеем

У опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Вто­рой слу­чай.Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M, а BC в точке N (рис. 2). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BMN имеем

У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка ACNM суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: или