Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 
а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 
Обозначим данный треугольник ABC,
— основание, 
Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник 
Пусть O — её центр, а E — точка касания с основанием 
Обозначим 
Так как BO — биссектриса треугольника ABE, то 
следовательно, 
Первый случай. Пусть прямая MN перпендикулярная AB, касается окружности, пересекает AB в точке M, а AC в точке N (рис. 1). Тогда 
В треугольнике AMN, имеем 
У описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: 
Второй случай.Пусть прямая MN перпендикулярная AB, касается окружности, пересекает AB в точке M, а BC в точке N (рис. 2). В прямоугольном треугольнике BMN имеем 
У описанного четырёхугольника ACNM суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: 
Ответ: 
или 