PDF-версии: 
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен 
Решение. Обозначим данный треугольник ABC, 
— гипотенуза, 
Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности
Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N (рис. 1). Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём 
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: x = 8.
Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N (рис. 2). Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC. В нём 
У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:
откуда находим: x = 9.
Ответ: 8 или 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |