СДАМ ГИА






Каталог заданий. Задача на доказательство и вычисление
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 14 № 505566

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.


Аналоги к заданию № 505566: 511411 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Пред­эк­за­ме­на­ци­он­ная ра­бо­та 2014 по математике.
Решение · ·

2
Задание 14 № 507887

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.


Аналоги к заданию № 507887: 510460 Все

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.

3
Задание 14 № 507910

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.

4
Задание 14 № 508233

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.


Аналоги к заданию № 508233: 511582 Все

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

5
Задание 14 № 508254

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 6, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости BCP.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Ва­ри­ант 2.
Решение · ·

6
Задание 14 № 509022

На ребре прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 12, AA1 = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.


Аналоги к заданию № 509022: 509159 Все

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.

7
Задание 14 № 509202

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 построена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P : PB1 = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2015. До­сроч­ная волна, Запад.

8
Задание 14 № 509580

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B1C1. Известно, что AD = 10, AA1 = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.

9
Задание 14 № 509821

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA'B'C'D' является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна Точка K — середина ребра BB'. Через точки K и С' проведена плоскость α, параллельная прямой BD'.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.


Аналоги к заданию № 509821: 514244 Все

Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).

10
Задание 14 № 509927

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 30, AA1 = 35.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.

11
Задание 14 № 509948

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.


Аналоги к заданию № 509948: 511602 510107 Все

Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С).

12
Задание 14 № 510019

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.


Аналоги к заданию № 510019: 511603 Все

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2016 по математике. Про­филь­ный уровень., Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2018 по математике. Про­филь­ный уровень.
Решение · ·

13
Задание 14 № 510051

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной а высота призмы равна Точка  лежит на диагонали причём

а) Постройте сечение призмы плоскостью

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью

Источник: Демонстрационная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень.

14
Задание 14 № 510107

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.


15
Задание 14 № 512357

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10211.
Решение · ·

16
Задание 14 № 512399

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Источник: СтатГрад: Тренировочная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10212.

17
Задание 14 № 512993

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 35, AD = 12, CC1 = 21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

18
Задание 14 № 512997

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.

а) Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC — прямой.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

19
Задание 14 № 512998

Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 4, а боковое ребро AA1 = 9. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 5.

а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.

б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение · ·

20
Задание 14 № 513094

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

21
Задание 14 № 513095

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

22
Задание 14 № 513096

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

23
Задание 14 № 513097

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.


Аналоги к заданию № 513097: 509977 Все

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

24
Задание 14 № 513098

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
Решение · ·

25
Задание 14 № 513253

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

26
Задание 14 № 513256

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что плоскости AA1D1 и DB1F1 перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

27
Задание 14 № 513259

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между этими хордами равно

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

28
Задание 14 № 513264

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.

б) Найдите угол между плоскостями AD1C1 и A1D1C.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

29
Задание 14 № 513266

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Решение · ·

30
Задание 14 № 513270

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 5.

а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

31
Задание 14 № 513273

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1.

б) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

32
Задание 14 № 513276

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

33
Задание 14 № 509092

В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.

а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.

б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB =10.


Аналоги к заданию № 509092: 509121 511590 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Ва­ри­ант 1.

34
Задание 14 № 508972

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4 . Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14 .

а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?

б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.


Аналоги к заданию № 508972: 509001 512336 512378 Все

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 05.03.2015 ва­ри­ант МА10309.
Решение · ·

35
Задание 14 № 511106

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

36
Задание 14 № 507202

Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.

б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.


37
Задание 14 № 513347

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.


Аналоги к заданию № 513347: 513366 Все

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309

38
Задание 14 № 513428

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.


Аналоги к заданию № 513428: 513447 514187 513625 513752 Все

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 03.03.2016 ва­ри­ант МА10409

39
Задание 14 № 513606

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно  На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101

40
Задание 14 № 513625

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB=6, а боковое ребро На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Решение · ·

41
Задание 14 № 513684

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.

а) Докажите, что плоскость делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.

Источник: Пробный эк­за­мен по про­филь­ной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 1.
Решение · ·

42
Задание 14 № 513714

В правильной четырехугольной призме KLMNK1L1M1N1 точка E делит боковое ребро KK1 в отношении KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E проведена плоскость параллельная прямой KM и пересекающая ребро NN1 в точке F.

а) Докажите, что плоскость делит ребро NN1 пополам.

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью грани KLMN, если известно, что KL = 6 , KK1 = 4 .

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.

43
Задание 14 № 513752

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.


44
Задание 14 № 513920

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

45
Задание 14 № 514026

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.


Аналоги к заданию № 514026: 514045 517181 517219 Все

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 27.04.2016 ва­ри­ант МА10509

46
Задание 14 № 514243

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2015

47
Задание 14 № 514245

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2015
Решение · ·

48
Задание 14 № 514447

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А1С1 и В1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.


Аналоги к заданию № 514447: 514541 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

49
Задание 14 № 514474

В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

50
Задание 14 № 514480

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

51
Задание 14 № 514506

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.


Аналоги к заданию № 514506: 514513 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

52
Задание 14 № 514520

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.


Аналоги к заданию № 514520: 514555 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

53
Задание 14 № 514527

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = 2, а B1L = 4. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

54
Задание 14 № 514534

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 12, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах AB и B1C1 отмечены точки K и L, соответственно, причём AK = B1L = 3. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна ребру AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)

55
Задание 14 № 514561

Есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1.

Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

56
Задание 14 № 514603

На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
Решение · ·

57
Задание 14 № 514617

На рёбрах DD1 и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 8 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 7, а B1Q = 3. Плоскость A1PQ пересекает ребро CC1 в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.


Аналоги к заданию № 514617: 514631 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

58
Задание 14 № 514624

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

59
Задание 14 № 514653

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
Решение · ·

60
Задание 14 № 514654

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке U.

а) Докажите, что B1U : UC1 = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью APQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016

61
Задание 14 № 514655

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.

б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
Решение · ·

62
Задание 14 № 514721

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

63
Задание 14 № 514722

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания а боковое ребро AA1 = 8.

а) Докажите, что плоскость BCA1 перпендикулярна плоскости проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

64
Задание 14 № 514723

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

65
Задание 14 № 515826

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).

66
Задание 14 № 515920

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Источник: Задания для школы экспертов. Математика. 2016 год.
Решение · ·

67
Задание 14 № 516761

В параллелепипеде точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1.

68
Задание 14 № 516780

В параллелепипеде точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении Через точки F и E проведена плоскость параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.

а) Докажите, что плоскость делит диагональ DB1 в отношении

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.

Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2.

69
Задание 14 № 516799

Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью содержащей прямую и параллельной прямой AC, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями и если

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.

70
Задание 14 № 517200

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB =  4 и диагональю BD =  7. Все боковые рёбра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF =  BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.


Аналоги к заданию № 517200: 517238 Все

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа 21.04.2017 вариант МА10709

71
Задание 14 № 517263

Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2017. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

72
Задание 14 № 517446

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 517551 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

73
Задание 14 № 517460

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые и перпендикулярны.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние между прямыми и если


Аналоги к заданию № 517460: 517467 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

74
Задание 14 № 517477

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

75
Задание 14 № 517484

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

76
Задание 14 № 517500

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.

а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B1KLM.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

77
Задание 14 № 517514

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней и равны 15 и 9 соответственно,

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

78
Задание 14 № 517541

SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Доказать, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

79
Задание 14 № 517544

Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а высота равна 12.


Аналоги к заданию № 517544: 517542 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

80
Задание 14 № 517558

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна Вершина пирамиды S проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017
Решение · ·

81
Задание 14 № 517561

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна , а BC равна 6. Выста пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

82
Задание 14 № 517563

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

83
Задание 14 № 517738

В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC.


Аналоги к заданию № 517738: 517748 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть).

84
Задание 14 № 517752

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 992 (C часть).

85
Задание 14 № 517830

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.

а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

86
Задание 14 № 518114

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB, AA1. Точка M — середина ребра BC.

а) Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 511 (C часть).

87
Задание 14 № 518144

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что

б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если .

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 610 (C часть).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!