СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Объёмы многогранников

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 14 № 512357

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.


Аналоги к заданию № 512357: 513347 512399 513366 Все

Решение · ·

2
Задание 14 № 513094

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

3
Задание 14 № 513253

В пи­ра­ми­де SABC в ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной Точка O — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ведённой из вер­ши­ны S.

а) До­ка­жи­те, что точка O лежит вне тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те объём четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCO.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем тела, Пирамида

4
Задание 14 № 513276

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.


Аналоги к заданию № 513276: 514723 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

5
Задание 14 № 513347

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.


6
Задание 14 № 513920

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

7
Задание 14 № 514506

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM = 2, CN = 1.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость MNB1 раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б) Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB1.


Аналоги к заданию № 514506: 514513 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Ва­ри­ант 201. Юг
Решение · ·

8
Задание 14 № 514561

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1.

Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Докажите, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

9
Задание 14 № 517263

Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2017. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

10
Задание 14 № 517446

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).
Решение · ·

11
Задание 14 № 517460

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые и перпендикулярны.

а) Докажите, что

б) Найдите расстояние между прямыми и если


Аналоги к заданию № 517460: 517467 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть).

12
Задание 14 № 517477

В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите объём пирамиды SABC.


Аналоги к заданию № 517477: 517484 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 431 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем тела, Треугольная пирамида

13
Задание 14 № 517500

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.

а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B1KLM.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).

14
Задание 14 № 517514

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней и равны 15 и 9 соответственно,

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).

15
Задание 14 № 517541

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

16
Задание 14 № 517544

Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а PK = 12.


Аналоги к заданию № 517544: 517542 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

17
Задание 14 № 517738

В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды PABC.


Аналоги к заданию № 517738: 517748 Все

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Вариант 501 (C часть)., За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017

18
Задание 14 № 517830

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.

а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

19
Задание 14 № 518144

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что

б) Точка N — середина AM. Найдите SN, если .

Источник: ЕГЭ — 2017.Вариант 610 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида

Пройти тестирование по этим заданиям