№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Объёмы многогранников
1.

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 9.

Ос­но­ва­ние O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

2.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 8. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка C, а ос­но­ва­ни­ем — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

3.

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

4.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

5.

Все рёбра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S равны 6. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

6.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD дву­гран­ные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) До­ка­жи­те, что AD = BC.

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если дву­гран­ные углы при AD и BC равны 60°.

7.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM = 2, CN = 1.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость MNB1 раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б) Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB1.

8.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 12 и вы­со­той 3. Точка K — се­ре­ди­на BC, точка L лежит на сто­ро­не A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — се­ре­ди­на A1C1.

Через точки K и L про­ве­де­на плос­кость таким об­ра­зом, что она па­рал­лель­на пря­мой AC.

а) До­ка­жи­те, что ука­зан­ная выше плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB.

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке В, у ко­то­рой ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся се­че­ние приз­мы плос­ко­стью.

9.

Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

10.

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — се­ре­ди­ны сто­рон DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б) Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

11.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и если

12.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC из­вест­ны бо­ко­вые рёбра: Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­на ме­ди­а­ны CM тре­уголь­ни­ка ABC. Эта вы­со­та равна 12.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC.

13.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — цен­тры гра­ней ABCD, AA1D1D и CC1D1D со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что B1KLM — пра­виль­ная пи­ра­ми­да.

б) Най­ди­те объём B1KLM.

14.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней и равны 15 и 9 со­от­вет­ствен­но,

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды

15.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. Точка M рас­по­ло­же­на на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — се­ре­ди­на ребра AD, а Q се­ре­ди­на ребра BC.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MQP — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MQP раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

16.

Дана пи­ра­ми­да PABCD, в ос­но­ва­нии — тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Из­вест­но, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а) До­ка­зать, что плос­кость PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PCD.

б) Най­ди­те объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а PK = 12.

17.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­но, что AB = 13, PB = 15, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся точка C. Пря­мые PA и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды PABC.

18.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1 яв­ля­ет­ся ромб ABCD, AB = AA1.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые A1C и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те объем приз­мы, если A1C = BD = 2.

19.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна бо­ко­во­му ребру SA. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка SBC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а) До­ка­жи­те, что

б) Точка N — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те SN, если .