Любые два на­пи­сан­ных числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, че­ты­ре или пять дру­гих чисел и до­ба­вить к ним одно из этих двух, то в обоих слу­ча­ях сумма будет крат­на 3, 4, 5 и 6, зна­чит, у за­ме­ня­ю­щих друг друга чисел оди­на­ко­вые остат­ки. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность любых двух на­пи­сан­ных чисел крат­на 3, 4, 5 и 6, а по­то­му крат­на их наи­мень­ше­му об­ще­му крат­но­му  — числу 60. Таким об­ра­зом, все на­пи­сан­ные числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 60  — такие же как число 30 021, то есть 21, и имеют вид 60k + 21. На­про­тив, если у всех чисел остат­ки оди­на­ко­вы, то сумма трех, че­ты­рех, пяти или шести из них будет крат­на 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 351 при де­ле­нии на 60 дает оста­ток 51, по­это­му оно не под­хо­дит.

б)  За­ме­тим, что

то есть при умно­же­нии на 11 оста­ток от де­ле­ния на 60 из­ме­нит­ся, и новое число не будет среди на­пи­сан­ных.

в)  Нужно, чтобы тоже да­ва­ло оста­ток 21 при де­ле­нии на 60, то есть чтобы число

было крат­но 60. Пер­вое сла­га­е­мое крат­но 60, а для вто­ро­го тре­бу­ет­ся, чтобы было крат­но 20, то есть

В ка­че­стве при­ме­ра для можно взять числа 30 021, 21, и любые дру­гие семь чисел, да­ю­щие при де­ле­нии на 60 оста­ток 21.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  21.

Любые два на­пи­сан­ных числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, че­ты­ре или пять дру­гих чисел и до­ба­вить к ним одно из этих двух, то в обоих слу­ча­ях сумма будет крат­на 3, 4, 5 и 6, зна­чит, у за­ме­ня­ю­щих друг друга чисел оди­на­ко­вые остат­ки. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность любых двух на­пи­сан­ных чисел крат­на 3, 4, 5 и 6, а по­то­му крат­на их наи­мень­ше­му об­ще­му крат­но­му  — числу 60. Таким об­ра­зом, все на­пи­сан­ные числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 60  — такие же как 30 035, то есть 35, и имеют вид 60k + 35. На­про­тив, если у всех чисел остат­ки оди­на­ко­вы, то сумма трех, че­ты­рех, пяти или шести из них будет крат­на 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 325 при де­ле­нии на 60 дает оста­ток 25, по­это­му оно не под­хо­дит.

б)  Имеем

то есть при умно­же­нии на 7 оста­ток от де­ле­ния на 60 из­ме­нит­ся, и новое число не будет среди на­пи­сан­ных.

в)  Нужно, чтобы тоже да­ва­ло оста­ток 35 при де­ле­нии на 60, то есть чтобы

было крат­но 60. Пер­вое сла­га­е­мое крат­но 60, а для вто­ро­го тре­бу­ет­ся, чтобы было крат­но 12, от­ку­да

В ка­че­стве при­ме­ра для можно взять числа 30 035, 35, 455  =  35 · 13 и любые дру­гие семь чисел, да­ю­щие при де­ле­нии на 60 оста­ток 35.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  13.

Любые два на­пи­сан­ных числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3, 4, 5, 6. Если взять два, три, че­ты­ре или пять дру­гих чисел и до­ба­вить к ним одно из этих двух, то в обоих слу­ча­ях сумма будет крат­на 3, 4, 5 и 6 зна­чит, у за­ме­ня­ю­щих друг друга чисел оди­на­ко­вые остат­ки. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность любых двух на­пи­сан­ных чисел крат­на 3, 4, 5 и 6, а по­то­му и их наи­мень­ше­му об­ще­му крат­но­му  — числу 60. Таким об­ра­зом, все на­пи­сан­ные числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 60  — такие же как 30 033, то есть 33, и имеют вид 60k + 33. На­про­тив, если у всех чисел остат­ки оди­на­ко­вы, то сумма трех, че­ты­рех, пяти или шести из них будет крат­на 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 303 при де­ле­нии на 60 дает оста­ток 3, по­это­му оно не под­хо­дит.

б)  Имеем

то есть при умно­же­нии на 31 оста­ток от де­ле­ния на 60 из­ме­нит­ся, и новое число не будет среди на­пи­сан­ных.

в)  Нужно, чтобы тоже да­ва­ло оста­ток 33 при де­ле­нии на 60, то есть чтобы число

было крат­но 60. Пер­вое сла­га­е­мое крат­но 60, а для вто­ро­го тре­бу­ет­ся, чтобы было крат­но 20, от­ку­да

В ка­че­стве при­ме­ра для можно взять числа 30 033, 33, и любые семь чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 60 оста­ток 33.

Ответ: а)  нет, б)  нет, в)  21.