Тип 17 № 681310 
Планиметрическая задача. Треугольники и их свойства
i
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно.
а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 21 и 
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН из вершины прямого угла, АМ и СN — биссектрисы треугольников ACH и ВСН соответственно.
а) Докажите, что прямые АМ и СN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка МN, если ВС = 20 и 
а) Достроим прямую AM до пересечения с прямой CM в точке K. Пусть 
тогда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Треугольник CHB прямоугольный, 
тогда 
поэтому в треугольнике ACK имеем 
тогда прямые AM и CN перпендикулярны.
б) Заметим, что в треугольнике ACN отрезок AK является биссектрисой и высотой, а значит, треугольник ACN равнобедренный. Тогда CK = KN. Таким образом, отрезок AK является серединным перпендикуляром к стороне CN, а значит, CM = MN. Аналогично прямая CK — биссектриса и высота в треугольнике MCT, следовательно, треугольник является равнобедренным и CM = CT.
Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника ABC:
Таким образом, СТ = 5, TB = 15. Получаем, MN = CT = CM = 5.
Ответ: б) 5.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 6.
