а)  До­стро­им пря­мую AM до пе­ре­се­че­ния с пря­мой CM в точке K. Пусть тогда По свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка Тре­уголь­ник CHB пря­мо­уголь­ный, тогда по­это­му в тре­уголь­ни­ке ACK имеем тогда пря­мые AM и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  За­ме­тим, что в тре­уголь­ни­ке ACN от­ре­зок AK яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той, а зна­чит, тре­уголь­ник ACN рав­но­бед­рен­ный. Тогда CK  =  KN. Таким об­ра­зом, от­ре­зок AK яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к сто­ро­не CN, а зна­чит, CM  =  MN. Ана­ло­гич­но пря­мая CK  — бис­сек­три­са и вы­со­та в тре­уголь­ни­ке MCT, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным и CM  =  CT.

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством бис­сек­три­сы для тре­уголь­ни­ка ABC:

Таким об­ра­зом, СТ  =  5, TB  =  15. По­лу­ча­ем, MN  =  CT  =  CM  =  5.

Ответ: б)  5.

а)  Про­дол­жим бис­сек­три­су AM до пе­ре­се­че­ния со сто­ро­ной CB в точке K. Пусть тогда По свой­ству пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка Тре­уголь­ник CHB пря­мо­уголь­ный, тогда Так как в тре­уголь­ни­ке ACK имеем тогда пря­мые AM и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  В тре­уголь­ни­ке ACN от­ре­зок AK яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той, по­это­му тре­уголь­ник ACN  — рав­но­бед­рен­ный, Таким об­ра­зом, пря­мая AK яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к сто­ро­не CN, а зна­чит, Ана­ло­гич­но: от­ре­зок CK  — бис­сек­три­са и вы­со­та в тре­уголь­ни­ке MCT, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным и

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством бис­сек­три­сы для тре­уголь­ни­ка ABC:

Таким об­ра­зом, По­лу­ча­ем

Ответ: б)  6.