ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 681158 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ−2025. Основная волна 27.05.2025. Экзамен на дому

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс 0,5 = косинус в квадрате x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Применим формулу косинуса двойного угла:

$косинус 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = \pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности. Получаем: $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 681158: 681295 Все

Источник: ЕГЭ−2025. Основная волна 27.05.2025. Экзамен на дому

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 681295 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс 0,75 = косинус в квадрате x.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Используем формулу косинуса двойного угла:

$косинус 2x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно синус в квадрате x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно косинус в квадрате x минус синус в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно синус в квадрате x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 681158: 681295 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Разные города

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе