Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Запишем систему в виде
Из уравнения 
получаем, что каждому значению x, удовлетворяющему системе, соответствует ровно одно значение y. Поэтому количество решений системы совпадает с количеством корней уравнения 
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
Случай 1. Если 
то
принимает вид
Решим это неравенство. Пусть 
тогда:
Используя метод интервалов и условие на ОДЗ, получаем: либо
либо б):
Случай 2. При 
раскрывая модуль, получаем уравнение 
решениями которого являются 
Для найденных решений неравенство 
принимает вид
Положим, 
тогда
Используя метод интервалов и условие на ОДЗ, получаем: либо а)
либо
Теперь рассмотрим все возможные значения параметра a и количество решений, которые система будет иметь при каждом отдельно взятом значении:
При 
два решения — случаи 2а) и 2б).
При a = –9 три решения — случаи 2а) и 2б) и совпадающие корни из случаев 1а) и 1б).
При 
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
При a = –8 три решения — случаи 1а), 1б) и 2б).
При 
два решения — случаи 1а) и 2б).
При a = 0 три решения — случаи 1а), 1б) и 2б).
При 
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
При a = 1 три решения — случаи 1а) и 1б) и совпадающие корни из случаев 2а) и 2б).
При 
два решения — случаи 1а) и 1б).
Итак, два решения система имеет при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Запишем систему в виде
Из уравнения получаем, что каждому значению x, удовлетворяющему системе, соответствует ровно одно значение y. Поэтому количество решений системы совпадает с количеством корней уравнения Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
Случай 1. Если то
принимает вид
Решим это неравенство. Пусть тогда:
Используя метод интервалов и условие на ОДЗ, получаем: либо
либо б):
Случай 2. При раскрывая модуль, получаем уравнение решениями которого являются Для найденных решений неравенство принимает вид
Положим, тогда
Используя метод интервалов и условие на ОДЗ, получаем: либо а)
либо
Теперь рассмотрим все возможные значения параметра a и количество решений, которые система будет иметь при каждом отдельно взятом значении:
При два решения — случаи 2а) и 2б).
При a = –9 три решения — случаи 2а) и 2б) и совпадающие корни из случаев 1а) и 1б).
При по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
При a = –8 три решения — случаи 1а), 1б) и 2б).
При два решения — случаи 1а) и 2б).
При a = 0 три решения — случаи 1а), 1б) и 2б).
При по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
При a = 1 три решения — случаи 1а) и 1б) и совпадающие корни из случаев 2а) и 2б).
При два решения — случаи 1а) и 1б).
Итак, два решения система имеет при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх