Тип 17 № 642759 
Планиметрическая задача. Четырехугольники и их свойства
i
Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону АВ в отношении 
а) Докажите, что прямые ВМ и CN перпендикулярны
б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна 
Решение. 
а) Пусть прямые BC и AM пересекаются в точке E, прямые AM и DN пересекаются в точке H, прямые BM и AD пересекаются в точке F. Отрезок AH — биссектриса и высота треугольника AND, следовательно, AN = AD. Отсюда треугольник ANM равен треугольнику ADM, следовательно, NM = MD = CM. Треугольник CND — прямоугольный, причем угол CND равен 90°. Тогда прямые NC и AM параллельны, ACED — параллелограмм, следовательно, CE = AD = AN. Из того, что прямые CN и AM параллельны, следует, что AN : NB = CE : BC, тогда CE = AD = 7BC = 7BN. Аналогично BCFD — параллелограмм, BC = DF. Тогда AN : NB = AD : DF = 7 : 1, тогда прямые DN и BF параллельны, следовательно, прямые CN и BM перпендикулярны.
б) Пусть AD = 7x, тогда BC = x, AB = CD = 8x, NM = 4x. Если h — высота трапеции, тогда
Выразим площадь трапеции ABCD:
отсюда x = 1. Тогда MN = 4x = 4.
Ответ: 4.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 4.
тогда:
