а)  Пусть пря­мые BC и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, пря­мые AM и DN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  H, пря­мые BM и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  F. От­ре­зок  AH  — бис­сек­три­са и вы­со­та тре­уголь­ни­ка AND, сле­до­ва­тель­но, AN  =  AD. От­сю­да тре­уголь­ник ANM равен тре­уголь­ни­ку ADM, сле­до­ва­тель­но, NM  =  MD  =  CM. Тре­уголь­ник CND  — пря­мо­уголь­ный, при­чем угол CND равен 90°. Тогда пря­мые NC и AM па­рал­лель­ны, ACED  — па­рал­ле­ло­грамм, сле­до­ва­тель­но, CE  =  AD  =  AN. Из того, что пря­мые CN и AM па­рал­лель­ны, сле­ду­ет, что AN : NB  =  CE : BC, тогда CE  =  AD  =  7BC  =  7BN. Ана­ло­гич­но BCFD  — па­рал­ле­ло­грамм, BC  =  DF. Тогда AN : NB  =  AD : DF  =  7 : 1, тогда пря­мые DN и BF па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, пря­мые CN и BM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть AD  =  7x, тогда BC  =  x, AB  =  CD  =  8x, NM  =  4x. Если h  — вы­со­та тра­пе­ции, тогда

Вы­ра­зим пло­щадь тра­пе­ции ABCD:

от­сю­да x  =  1. Тогда MN  =  4x  =  4.

Ответ: 4.