Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите MN, если 
а радиус малой окружности равен 
по теореме об угле между касательной и хордой. Аналогично 
значит, 
откуда следует, что хорды AB и MN параллельны. Следовательно, треугольники LAK и CMK и треугольники LBK и CNK подобны. Таким образом,
Что и требовалось доказать.
и 
тогда 
Точка O1 — центр малой окружности, значит, радиус O1C перпендикулярен хорде MN. Находим: 
откуда получаем уравнение:
откуда 
Положим CN = 4x, тогда по теореме о касательной и секущей: 
следовательно, 
В треугольнике NCK известны все стороны, применим теорему косинусов: 
по теореме об угле между касательной и хордой. Значит, 
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину хорды MN, если 
a радиус меньшей окружности равен 
Отрезок OA — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду, поэтому A — середина KM. Аналогично B — середина KN. Тогда AB — средняя линия треугольника KMN. Значит, прямые AB и MN параллельны. Тогда 
В предыдущем пункте было доказано, что 
Тогда 
и 
Составим и решим уравнение: 
