РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Решение. а)  да. Можно, например, сделать такие действия:

б)  Если в одной коробке окажется 306 камней, то остальные будут пусты. Однако нетрудно видеть, что в коробках 1 и 2 количества камней каждый ход меняют четность, поэтому всегда остаются разной четности и не могут оба стать нулями.

в)  Покажем, как получить в первой коробке 303 камня:

$левая круглая скобка 101,102,103,0 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 100,101,102,3 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 99,100,101,6 правая круглая скобка \mapsto \ldots \mapsto левая круглая скобка 75,76,77,78 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 78,75,76,77 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 81,74,75,76 правая круглая скобка \mapsto \ldots \mapsto левая круглая скобка 303,0,1,2 правая круглая скобка .$

Больше сделать нельзя. Действительно, начальные количества камней давали разные остатки от деления на 4, и это свойство сохранится, поскольку от каждого количества вычитают 1, а потом к одному прибавляем 4. Значит, минимум $0 плюс 1 плюс 2$ камня не попадут в четвертую коробку, что дает оценку $101 плюс 102 плюс 103 минус 0 минус 1 минус 2=303$ камня.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  303.

Примечание.

Заметим, что и в четвертой коробке можно получить максимум 303 камня: если проделать описанную в условии операцию 101 раз с первыми тремя коробками, то в четвертой окажется 303 камня. Большее количество получить нельзя, поскольку, как показано выше, разные остатки при делении на 4 являются инвариантом при перекладывании камней.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Есть четыре коробки: в первой коробке 121 камень, во второй  — 122, в третьей  — 123, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 121 камней, во второй  — 122, в третье  — 119, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 366 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй  — 94, в третьей  — 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй  — 94, в третьей  — 95, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Решение. а)  Пусть 2 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказался 91 камень, во второй  — 92 камня, в третьей  — 93 камня, а в четвёртой  — 6 камней. Если после этого переложить камни из первой, третьей и четвёртой коробок во вторую, то в первой коробке окажется 90 камней, во второй  — 95, в третьей  — 92, а в четвёртой  — 5. Если после этого переложить камни из первой, второй и четвёртой коробок в третью, то в первой коробке окажется 89 камней, во второй  — 94, в третьей  — 95, а в четвёртой  — 4.

б)  Если в четвёртой коробке оказалось 282 камня, то в первой, во второй и в третьей коробках не осталось камней.

Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b, c и d камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо a − 1, b − 1, c − 1 и d + 3 камня, либо a − 1, b − 1, c + 3 и d − 1 камень, либо a − 1, b + 3, c − 1 и d − 1 камень, либо a + 3, b − 1, c − 1 и d − 1 камень соответственно. Заметим, что разность между количествами камней во второй и в первой коробках либо не изменилась, либо изменилась на 4. Сначала разность количеств камней во второй и в первой коробках равнялась 1. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в четвёртой коробке не могло оказаться 282 камней.

в)  Сначала разность количеств камней в любых двух коробках не делится на 4. Следовательно, ни в какой момент в двух коробках не могло оказаться одинаковое число камней. Значит, во второй, в третьей и в четвёртой коробках не меньше 0 + 1 + 2  =  3 камней суммарно, а в первой коробке не больше 279 камней.

Покажем, что в первой коробке могло оказаться 279 камней. Пусть 24 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 69 камней, во второй  — 70, в третьей  — 71, а в четвёртой  — 72. Если после этого 70 раз переложить камни из второй, третьей и четвёртой коробок в первую, то в первой коробке окажется 279 камней, во второй  — 0 камней, в третьей  — 1 камень, а в четвёртой  — 2 камня.

Ответ: а) да; б) нет; в) 279.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй  — 110, в третьей  — 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй  — 110, в третьей  — 111, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Решение. а)  Пусть 2 раза из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказалось 107 камней, во второй  — 108 камней, в третьей  — 109 камней, а в четвёртой  — 6 камней. Если после этого переложить камни из первой, третьей и четвёртой коробок во вторую, то в первой коробке окажется 106 камней, во второй  — 111, в третьей  — 108, а в четвёртой  — 5. Если после этого переложить камни из первой, второй и четвёртой коробок в третью, то в первой коробке окажется 105 камней, во второй  — 110, в третьей  — 111, а в четвёртой  — 4.

б)  Если в первой коробке оказалось 330 камней, то во второй, в третьей и в четвёртой коробках не осталось камней.

Пусть в какой-то момент в коробках оказалось a, b, c и d камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо a − 1, b − 1, c − 1 и d + 3 камня, либо a − 1, b − 1, c + 3 и d − 1 камень, либо a − 1, b + 3, c − 1 и d − 1 камень, либо a + 3, b − 1, c − 1 и d − 1 камень соответственно. Заметим, что разность между количествами камней во второй и в третьей коробках либо не изменилась, либо изменилась на 4. Сначала разность количеств камней во второй и в третьей коробках равнялась 1. Следовательно, ни в какой момент она не могла стать равной 0. Значит, в этих двух коробках всегда разное число камней. Следовательно, в первой коробке не могло оказаться 330 камней.

Покажем, что в первой коробке могло оказаться 327 камней. Пусть 28 раз из первых трёх коробок переложили камни в четвёртую. Тогда в первой коробке оказался 81 камень, во второй  — 82, в третьей  — 83, а в четвёртой  — 84. Если после этого 82 раза переложить камни из второй, третьей и четвёртой коробок в первую, то в первой коробке окажется 327 камней, во второй  — 0 камней, в третьей  — 1 камень, а в четвёртой  — 2 камня.

Ответ: а) да; б) нет; в) 327.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630125	а)  да; б)  нет; в)  303.
2	630161	а) да, б) нет, в) 363.
3	651042	а) да; б) нет; в) 279.
4	651072	а) да; б) нет; в) 327.

Ключ