Пусть сто­ро­на квад­ра­та равна a, тогда ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка равна a − 2, а длина его равна

а)  Если a − 2  =  6, то   — не­це­лое число.

б)  Решая урав­не­ние най­дем под­хо­дя­щее a  =  3 или a  =  6.

в)  По­сколь­ку долж­но быть целым, 4 долж­но де­лить­ся на a − 2, при­чем a − 2 долж­но быть по­ло­жи­тель­ным (это ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка). Зна­чит, a − 2  =  1, 2, 4, то есть a  =  3, 4, 6. По­лу­ча­ем такие ва­ри­ан­ты:

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  4 × 9 и 6 × 6; 2 × 8 и 4 × 4; 1 × 9 и 3 × 3.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  Сто­ро­на квад­ра­та равна 6 + 2  =  8, пло­щадь квад­ра­та 8²  =  64 и длина пря­мо­уголь­ни­ка 64 : 6  — не­це­лое число.

б)  Да. Пря­мо­уголь­ник с дли­ной 9 и ши­ри­ной 4 и квад­рат со сто­ро­ной 6 удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям.

в)  Пусть ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка x, тогда пло­щадь квад­ра­та что долж­но быть крат­но x (при де­ле­нии этой пло­ща­ди на ши­ри­ну пря­мо­уголь­ни­ка по­лу­ча­ет­ся его длина), от­ку­да 4 крат­но x, воз­мож­ны ва­ри­ан­ты x  =  1, x  =  2, и x  =  4. Раз­бе­рем эти слу­чаи

Ответ: а)  нет, б)  да, в) 1 × 9 и 3 × 3, 2 × 8 и 4 × 4, 4 × 9 и 6 × 6.

Пусть сто­ро­на квад­ра­та равна a, тогда ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка равна a − 3, а длина его равна

а)  Если a − 3  =  8, то   — не­це­лое число.

б)  Решая урав­не­ние най­дем под­хо­дя­щее a  =  4 или a  =  12.

в)  По­сколь­ку долж­но быть целым, 9 долж­но де­лить­ся на a − 3, при­чем a − 3 долж­но быть по­ло­жи­тель­ным (это ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка). Зна­чит, a − 3  =  1, 3, 9, то есть a  =  4, 6, 12. По­лу­ча­ем такие ва­ри­ан­ты:

Ответ: а) нет; б) да; в) 9 × 16 и 12 × 12; 3 × 12 и 6 × 6; 1 × 16 и 4 × 4.