а)  Про­ве­дем пря­мую  KL пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, а пря­мую ML, пе­ре­се­ка­ю­щу­ю­ся с BC в точке N. Тогда плос­кость α  — это плос­кость KMN.

Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ни­ки SOB и KLB по­доб­ны по двум углам. Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки MBL и LHD также по­доб­ны по двум углам, по­это­му

DH  =  DC, по­это­му точки H и C сов­па­да­ют, а тогда сов­па­да­ют также точки N и C. Сле­до­ва­тель­но, точка C при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

б)  За­ме­тим, что

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка SCO по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков SOB и KBL сле­ду­ет, что а тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке MBC

тогда

Ответ: б)

a)  Пусть пря­мая BD пе­ре­се­ка­ет плос­кость в точке H (см. рис. 1), а SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD. По­сколь­ку пи­ра­ми­да SABCD пра­виль­ная, центр квад­ра­та ABCD сов­па­да­ет с точ­кой O. Зна­чит, пря­мая SO лежит в плос­ко­сти SBD (см. рис. 2). Сле­до­ва­тель­но, плос­кость SBD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. По­лу­ча­ем, что пря­мая KH, яв­ля­ю­ща­я­ся пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей SBD и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC и па­рал­лель­на пря­мой SO. В тре­уголь­ни­ке SOB имеем

Рас­смот­рим квад­рат ABCD (см. рис. 3). Пусть пря­мые BD и CM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H₁. Тре­уголь­ни­ки MH₁B и CH₁D по­доб­ны по двум углам. По­лу­ча­ем

Таким об­ра­зом, пря­мая CM делит от­ре­зок BD в таком же от­но­ше­нии, что и плос­кость зна­чит, плос­кость со­дер­жит точку C.

б)  Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) сле­ду­ет, что ис­ко­мое се­че­ние  — тре­уголь­ник CKM . В тре­уголь­ни­ке SOB имеем

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCM имеем

От­ре­зок KH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC, а зна­чит, и пря­мой CM. Сле­до­ва­тель­но, он яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка СКМ. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKM равна

Ответ: б)

a)  Пусть пря­мая BD пе­ре­се­ка­ет плос­кость в точке H (см. рис. 1), а SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD. По­сколь­ку пи­ра­ми­да SABCD пра­виль­ная, центр квад­ра­та ABCD сов­па­да­ет с точ­кой O. Зна­чит, пря­мая SO лежит в плос­ко­сти SBD (см. рис. 2). Сле­до­ва­тель­но, плос­кость SBD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. По­лу­ча­ем, что пря­мая KH, яв­ля­ю­ща­я­ся пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей SBD и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC и па­рал­лель­на пря­мой SO. В тре­уголь­ни­ке SOB имеем

Рас­смот­рим квад­рат ABCD (см. рис. 3). Пусть пря­мые BD и CM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H₁. Тре­уголь­ни­ки MH₁B и CH₁D по­доб­ны по двум углам. По­лу­ча­ем

Таким об­ра­зом, пря­мая CM делит от­ре­зок BD в таком же от­но­ше­нии, что и плос­кость зна­чит, плос­кость со­дер­жит точку C.

б)  Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) сле­ду­ет, что ис­ко­мое се­че­ние  — тре­уголь­ник CKM . В тре­уголь­ни­ке SOB имеем

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCM имеем

От­ре­зок KH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC, а зна­чит, и пря­мой CM. Сле­до­ва­тель­но, он яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка СКМ. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKM равна

Ответ: б)

а)  Про­ве­дем пря­мую  KL пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, а пря­мую  ML, пе­ре­се­ка­ю­щу­ю­ся с BC в точке N. Тогда плос­кость α это плос­кость KMN. Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ни­ки SOB и KLB по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Тре­уголь­ни­ки MBL и LHD также по­доб­ны по двум углам, по­это­му:

По­сколь­ку DH  =  DC, точки H и C сов­па­да­ют, сов­па­да­ют также точки N и C. Сле­до­ва­тель­но, точка C при­над­ле­жит плос­ко­сти  α.

б)  За­ме­тим, что

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка SCO по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков SOB и KBL сле­ду­ет, что а тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, в тре­уголь­ни­ке MBC:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

а)  Про­ве­дем пря­мую  KL пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, и пря­мую  ML, пе­ре­се­ка­ю­щу­ю­ся с BC в точке N. Тогда плос­кость  α это плос­кость KMN.

Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ни­ки SOB и KLB по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Тре­уголь­ни­ки MBL и LHD также по­доб­ны по двум углам, по­это­му:

По­сколь­ку DH  =  DC, точки H и C сов­па­да­ют, а тогда сов­па­да­ют также точки N и C. Сле­до­ва­тель­но, точка C при­над­ле­жит плос­ко­сти  α.

б)  За­ме­тим, что

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка SCO по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков SOB и KBL сле­ду­ет, что а тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, в тре­уголь­ни­ке MBC:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)