а)  Из­на­чаль­но в пер­вой кучке сред­нее со­став­ля­ло Если после пе­ре­кла­ды­ва­ния оно стало равно 16 г, то масса кучки Зна­чит, до­бав­лен­ная гирь­ка была мас­сой что не­воз­мож­но, по­сколь­ку такая гирь­ка толь­ко одна.

б)  Пусть из­на­чаль­но в пер­вой кучке было n гирек сум­мар­ным весом 9,5n грам­мов. После пе­ре­кла­ды­ва­ния в кучке стала гирь­ка сум­мар­ным весом 10,5(n + 1) г. Зна­чит, была до­бав­ле­на гирь­ка весом   — не­це­лое число грам­мов.

в)  Пусть из­на­чаль­но в пер­вой кучке было n гирек сум­мар­ным весом xn г, а после пе­ре­кла­ды­ва­ния в кучке стала n + 1 гирь­ка сум­мар­ным весом Зна­чит, была до­бав­ле­на гирь­ка весом Нужно сде­лать n как можно боль­шим. За­ме­тим, что даже если вы­брать гирь­ки самой ма­лень­кой массы, n гирек будут ве­сить по­это­му Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки не мень­ше чем От­сю­да то есть

При­мер для 45 гирек те­перь легко по­стро­ить. Возь­мем в из­на­чаль­ный набор гирь­ки 1, 2, 3, ..., 45 грам­мов и до­ба­воч­ную гирь­ку мас­сой тогда все усло­вия будут вы­пол­не­ны: сред­няя масса 23 грам­ма вы­рос­ла до 24 грам­мов.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  45.

а)  Сред­няя масса трёх гирек рав­ня­лась 5 грам­мов, а после до­бав­ле­ния чет­вер­той стала равна 6 грам­мов. Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки равна 4 · 6 − 3 · 5  =  9 грам­мов, что не­воз­мож­но, по­сколь­ку такая гирь­ка уже есть в кучке.

б)  Пусть в пер­вой куче было n гирек, а их сред­няя масса рав­ня­лась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней рав­ня­лась na г. После того, как из вто­рой кучи в первую пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k г, в пер­вой куче стало n + 1 гирек, их сред­няя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в пер­вой куче стала равна na + k г. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, число a целое и не может рав­нять­ся 7,5.

в)  Сумма масс n гирек не мень­ше сле­до­ва­тель­но, В первую кучу пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирь­ки не пре­вос­хо­дит 100 г, от­ку­да по­лу­ча­ем:

по­это­му от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние n не пре­вос­хо­дит 65. По­ка­жем, что могло быть 65 гирек. Если в пер­вой кучке ле­жа­ло 65 гирек мас­сой 1 г, 2 г, ..., 65 г, и к ним до­ба­ви­ли гирь­ку мас­сой то сред­няя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число гирек в пер­вой куче равно 65.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 65.

а)  Сред­няя масса трёх гирек рав­ня­лась 10 г, а после до­бав­ле­ния чет­вер­той стала равна 11 г. Зна­чит, масса до­бав­лен­ной гирь­ки равна 4 · 11 − 3 · 10  =  14 (г), что не­воз­мож­но, по­сколь­ку гирь­ка с такой мас­сой уже при­сут­ству­ет в пер­вой куче.

б)  Пусть в пер­вой куче было n гирек, а их сред­няя масса рав­ня­лась a г. Тогда сумма масс всех гирек в ней рав­ня­лась na г. После того, как из вто­рой кучи в первую пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k г, в пер­вой куче стало n + 1 гирек, их сред­няя масса стала равна a + 1 г, а сумма масс всех гирек в пер­вой куче стала равна na + k г. Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, число a целое и не может рав­нять­ся 8,5.

в)  Сумма масс n гирек не мень­ше сле­до­ва­тель­но, В первую кучу пе­ре­ло­жи­ли гирь­ку мас­сой k = a + n + 1 (г). Масса этой гирь­ки не пре­вос­хо­дит 40 г, от­ку­да по­лу­ча­ем:

тогда то есть

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние n не пре­вос­хо­дит 25. По­ка­жем, что n может рав­нять­ся 25. Если в пер­вой куче ле­жа­ло 25 гирек мас­сой 1 г, 2 г, ..., 25 г и к ним до­ба­ви­ли гирь­ку мас­сой 39 г, то сред­няя масса была равна 13 г, а стала равна 14 г. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число гирек в пер­вой куче равно 25.

Ответ: а) нет, б) нет, в) 25.