На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные — умножили
а) Могли ли оказаться так, что 
б) Могли ли оказаться так, что 
в) Найдите наибольшее возможное значение А.
Мы хотим, чтобы она стала 
Пусть сумма четных составляла 
а сумма нечетных Y. Тогда 
Решая эту систему, находим 
Это возможно. Пусть, например, изначально были записаны 13 раз число 11, один раз число 9, четыре раза число 8 и один раз число 6. 
откуда 
что невозможно для целых 
откуда 
Тогда 
поэтому 
Если взять 
и 
(например для набора 2, 1 и 17 раз 
На доске написали 27 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 22. Среднее арифметическое написанных чисел равно 21. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили
а) Могло ли оказаться так, что A = 10?
б) Могло ли оказаться так, что A = 12?
в) Найдите наименьшее возможное значение А.
и 
Решая эту систему, находим X = 288 и Y = –9, что невозможно.
получим, что X = 270 и Y = 27. Значит, нечетное число не могло быть одно (27 > 22), и их не могло быть два (тогда их сумма Y была бы четна). Таким образом, нечетных чисел было минимум 3, а четных не более 24, поэтому их сумма составляла не более 
— 
получим, что 
и 
Тогда 
откуда 
При этом число 9A должно быть целым, иначе X получится нецелым, а потому минимальное подходящее A равно 
откуда Y = 1, X = 283 и 2X = 566. Такая ситуация возможна, например, если взять число 1, три числа по 20 и 23 числа по 22.