а)  Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхуголь­ник PBCQ впи­сан­ный, сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна  180°, по­это­му Угол MPQ смеж­ный с углом BPQ, по­это­му От­ре­зок MN  — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, она па­рал­лель­на BC, по­это­му Тем самым, в че­ты­рех­уголь­ни­ке MPQN сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°: а зна­чит, он впи­сан­ный.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CPD про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе ме­ди­а­на равна ее по­ло­ви­не: Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: Через вер­ши­ну тра­пе­ции B про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не CD, пусть L  — точка ее пе­ре­се­че­ния с ос­но­ва­ни­ем AD. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABL равны 26, 17 и 25. Най­дем его пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на, затем най­дем вы­со­ту h, про­ве­ден­ную к сто­ро­не AL, она будет яв­лять­ся также вы­со­той тра­пе­ции ABCD:

От­сю­да на­хо­дим:

По­сколь­ку по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MPN най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MPQ:

по­это­му можно найти MQ по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MQN:

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник MQN рав­но­бед­рен­ный, тогда

Ответ: а) до­ка­за­но, б)

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Про­дол­жим бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции до пе­ре­се­че­ния в точке R. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки MNR и BCR по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Тогда от­ку­да и от­ку­да

Через вер­ши­ну B про­ве­дем от­ре­зок BL, па­рал­лель­ный CN, по­лу­чим тре­уголь­ник MBL со сто­ро­на­ми 13, 12,5 и 8,5, к ко­то­ро­му при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов. Для удоб­ства можно рас­смот­реть по­доб­ный ему тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 26, 25 и 17, для ко­то­ро­го от­ку­да

По усло­вию, тре­уголь­ник CPD пря­мо­уголь­ный, от­ре­зок PN яв­ля­ет­ся в нем ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе. По­это­му В тре­уголь­ни­ке MPN угол M равен углу А, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов имеем:

Далее из по­до­бия по­лу­ча­ем:

от­ку­да или

от­ку­да

При­ведём ещё одно ре­ше­ние пунк­та б).

По усло­вию, че­ты­рех­уголь­ник PBCQ впи­сан­ный. Из этого сле­ду­ет, что углы PBQ и PCQ равны, как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу.

За­ме­тим, что по­сколь­ку углы QNM и CDA равны, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов АPQ и ADQ че­ты­рех­уголь­ни­ка APQD также равна 180°, а зна­чит, он тоже впи­сан­ный. Из этого сле­ду­ет, что углы PAQ и PDQ равны, как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу.

Объ­еди­няя эти на­блю­де­ния, за­клю­ча­ем, что в тре­уголь­ни­ках CPD и BQA есть две пары рав­ных углов:

Но по усло­вию угол CPD пря­мой. Сле­до­ва­тель­но, угол BQA тоже пря­мой.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BQA про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе BA ме­ди­а­на равна ее по­ло­ви­не: Сред­няя линия тра­пе­ции ABCD равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MQN рав­но­бед­рен­ный. Тогда

Через вер­ши­ну тра­пе­ции C про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не AB, и пусть S  — точка ее пе­ре­се­че­ния с ос­но­ва­ни­ем тра­пе­ции AD. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка SCD равны 26, 17 и 25. При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов: от­ку­да

Таким об­ра­зом,

а)  Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхуголь­ник PBCQ  — впи­сан­ный, сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му Угол MPQ смеж­ный с углом BPQ, по­это­му От­ре­зок MN  — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, она па­рал­лель­на BC, а по­то­му

Тем самым в че­ты­рех­уголь­ни­ке MPQN сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°:

а зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник впи­сан­ный.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CPD про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе ме­ди­а­на равна ее по­ло­ви­не: PN  =  10. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: Через вер­ши­ну тра­пе­ции B про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не CD, пусть L  — точка ее пе­ре­се­че­ния с ос­но­ва­ни­ем AD. Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABL равны 21, 17 и 20. Най­дем его пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на, затем най­дем вы­со­ту h, про­ве­ден­ную к сто­ро­не AL, она будет яв­лять­ся также вы­со­той тра­пе­ции ABCD:

От­сю­да на­хо­дим:

По­сколь­ку по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MPN, на­хо­дим ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка MPQ:

Так как можно найти от­ре­зок MQ по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MQN:

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник MQN  — рав­но­бед­рен­ный, тогда

Ответ: б)