Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [−1; 1].
Преобразуем уравнение:
Положим 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке 
тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку 
либо имеет на отрезке корень, принимает при 
и 
ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит 
Рассмотрим второй случай. Имеем 
и 
Значит, 
при 
При таком значении a уравнение имеет два решения 
и на отрезке Аналогично 
при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда 
или
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет единственное решение на 
Преобразуем уравнение:
Положим 
Последнее уравнение имеет единственный корень на 
имеет единственный корень и этот корень принадлежит 
имеет на принимает при и 
ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит 
Рассмотрим второй случай. Имеем 
и 
Значит, 
при При таком значении a уравнение имеет два решения и 
на 
при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на 
или
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Преобразуем уравнение:
Положим 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен f(x) имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку [0; 2], либо f(x) имеет на отрезке [0; 2] единственный корень, равный 0 или 2, и не имеет других корней на этом отрезке, либо квадратный трёхчлен f(x) принимает при и ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен f(x) имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит отрезку [0; 2].
Рассмотрим второй случай. Имеем и 
Значит, при При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 2]. Аналогично 
при 
При таком значении a уравнение имеет два решения на отрезке [0; 2].
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на отрезке [0; 2] тогда и только тогда, когда 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
Преобразуем уравнение:
Положим 
Последнее уравнение имеет единственный корень на отрезке [0; 3] тогда и только тогда, когда выполнен один из трёх случаев: либо квадратный трёхчлен f(x) имеет единственный корень и этот корень принадлежит отрезку [0; 3], либо f(x) имеет на отрезке [0; 3] корень, равный 0 или 3, и не имеет других корней на этом отрезке, либо квадратный трёхчлен f(x) принимает при 
и 
ненулевые значения разных знаков.
Рассмотрим первый случай. Квадратный трёхчлен f(x) имеет единственный корень при равенстве нулю его дискриминанта, то есть при 
или, что то же самое, при 
При таком значении a уравнение 
имеет единственный корень 
он принадлежит отрезку [0; 3].
Рассмотрим второй случай. Имеем 
и 
Значит, 
при 
При таком значении a уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; 3]. Аналогично 
при 
При таком значении a уравнение имеет два решения 
на отрезке [0; 3].
Рассмотрим третий случай. Значения и 
имеют разные знаки тогда и только тогда, когда 
или, что то же самое, при 
Следовательно, уравнение 
имеет единственное решение на отрезке [0; 3] тогда и только тогда, когда 
или
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх