Тип 17 № 517479 
Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники
i
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла C. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
Решение. 
а) Лучи AO1 и CO2 являются биссектрисами равных углов HAC и HCB соответственно. Значит, 
то есть прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Пусть прямая AB касается окружностей, вписанных в треугольники ACH и BCH, в точках K и L соответственно. Получаем:
Поскольку 
и 
— квадраты, получаем: 
Значит, площадь четырёхугольника 
равна
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Пункт а) можно решить без вычислений. Повернём треугольник CHA вокруг точки Н на угол 90° и совместим точки А и С. Тогда лучи АO1 и СО2 совпадут, поскольку являются биссектрисами равных углов, а значит, угол между ними до поворота был 90°.
Приведем решение пункта б) Матвея Гащенко (Санкт-Петербург).
Пусть r, r1, r2 — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH соответственно. Треугольники ABC, ACH и BCH подобны, поэтому 
Из подобия находим отношение радиусов:
тогда
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC:
Подставляя в формулу 
находим:
а потому r2 = 3.
Заметим, что 
Четырехугольник MO1NO2 — трапеция, ее площадь равна
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
и 
являются биссектрисами равных углов HAC и HCB соответственно. Значит, 
то есть прямые 
