РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 19 № 516766 Добавить в вариант

Источники:

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1;

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Дано квадратное уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0,$ где a, b и c  — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б)  Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в)  Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

Решение. а)  Да, например, $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0.$

б)  Пусть уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0$ имеет корень −53. Тогда $53 в квадрате a минус 53b плюс c=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ откуда $c=53b минус 53 в квадрате a,$ а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: $c=53.$ Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем $53a минус b плюс 1=0,$ откуда $b=53a плюс 1.$ Если $a больше или равно 2,$ то $b больше или равно 107,$ поэтому $a=1,$ $b=54.$ Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.

в)  Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное  целое  число, меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение $x в квадрате плюс 52x плюс 100=0$ имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.

516766

а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.

Источники:

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1;

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 1. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

2.  Тип 19 № 516785 Добавить в вариант

Источники:

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2;

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Дано квадратное уравнение $ax в квадрате минус bx плюс c=0,$ где a, b, c  — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а)  Может ли такое уравнение иметь корень 9?

б)  Может ли такое уравнение иметь корень 135?

в)  Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение?

Решение. а)  Да, например, $2x в квадрате минус 20x плюс 18=0.$

б)  Пусть уравнение $ax в квадрате минус bx плюс c=0$ имеет корень 135. Тогда $135 в квадрате a минус 135b плюс c=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка ,$ откуда $c=135b минус 135 в квадрате a,$ а значит, число с кратно 135. Среди натуральных чисел, не больших 200, такое число только одно: $c=135.$ Подставляя в (*) вместо с число 135 и сокращая на 135, получаем $135a минус b плюс 1=0,$ откуда $b=135a плюс 1.$ Если $a больше или равно 2,$ то $b больше или равно 270,$ поэтому $a=1,$ $b=136.$ Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число 135.

в)  Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, больший 100. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число 135 на произвольное целое число, большее 100, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный 100, у данного уравнения быть может: уравнение $x в квадрате минус 102x плюс 200=0$ имеет корень 100 и полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а)  да, например $2x в квадрате минус 20x плюс 18=0;$ б)  нет; в)  100.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да, например $2x в квадрате минус 20x плюс 18=0;$ б)  нет; в)  100.

516785

а)  да, например $2x в квадрате минус 20x плюс 18=0;$ б)  нет; в)  100.

Источники:

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2;

Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 11.04.2017. Вариант 2. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	516766	а)  да, например $2x в квадрате плюс 16x плюс 14=0;$ б)  нет; в)  –50.
2	516785	а)  да, например $2x в квадрате минус 20x плюс 18=0;$ б)  нет; в)  100.