Тип 19 № 514433 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Решение. а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.
Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.
Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания: 
и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника: 
и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел 
противоречащее условию.
в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх, седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: 
Ответ: а) да; б) нет; в) 30.
Примечание.
Заметим, что при решении пункта б) не требуется, чтобы числа были натуральными, ни даже целыми. Никакие четыре различных числа не могут дать три пифагоровы тройки.
С другой стороны, отметим, что четыре различных натуральных числа могут образовать одну пифагорову тройку, но не могут образовать двух пифагоровых троек. В теории чисел этот факт известен как одна из эквивалентных формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике: не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. Доказательство этого факта было дано самим Ферма и может быть исследовано читателем самостоятельно.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. a; ― обоснованное решение п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 30.
