ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 514081 Добавить в вариант

Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2014

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку $левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Преобразуем исходное уравнение:

$3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно 9 в степени x минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 12 умножить на 4 в степени x =0 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 12=0.$ $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 9 в степени x минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 12 умножить на 4 в степени x =0 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 12=0.$ $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 9 в степени x минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 12 умножить на 4 в степени x =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 12=0.$

Пусть $t= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,$ тогда уравнение запишется в виде $t в квадрате минус 7t плюс 12=0,$ откуда $t=3$ или $t=4.$

При $t=3$ получим $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =3,$ откуда $x= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.$

При $t=4$ получим $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =4,$ откуда $x= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4.$

б)  Поскольку $левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате меньше 3 меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в кубе меньше 4,$ получаем: $2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3 меньше 3 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4.$ Значит, отрезку $левая квадратная скобка 2;3 правая квадратная скобка$ принадлежит число $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.$

Ответ: а) $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3, логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 4;$ б) $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 514081: 515781 Все

Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2014

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 13 № 515781 Добавить в вариант

Источники:

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С1;

Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть 2).

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Сравнение чисел

Методы алгебры: Замена переменной

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $19 умножить на 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 1=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Решим уравнение:

$19 умножить на 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 1=0 равносильно 19 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 20 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1=0.$

Пусть $2 в степени x =t,$ имеем $19t в квадрате минус 20t плюс 1=0 равносильно совокупность выражений t=1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби . конец совокупности .$

Тогда $совокупность выражений 2 в степени x =1,2 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x= минус логарифм по основанию 2 19. конец совокупности .$

б)  Проверим, какие из корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка .$

Корень $x=0$ не принадлежит отрезку $левая квадратная скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка .$

Проверим второй корень. Заметим, что $минус логарифм по основанию 2 19 = минус 1 умножить на логарифм по основанию 2 19.$ Поэтому:

$логарифм по основанию 2 16 меньше логарифм по основанию 2 19 меньше логарифм по основанию 2 32 равносильно 4 меньше логарифм по основанию 2 19 меньше 5.$

Тогда $минус 5 меньше минус логарифм по основанию 2 19 меньше минус 4.$

Ответ: а) $0; минус логарифм по основанию 2 19;$ б) $минус логарифм по основанию 2 19.$