1. Тип 18 № 513924 
Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»
Методы алгебры: Группировка
Задача с параметром. Системы с параметром
i
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
Исходная система имеет ровно три различных решения тогда и только тогда, когда графики функций 
и 
и прямая 
имеют с прямой 
три различных точки пересечения на области 
(см. рис.).
Из рисунка видно, что при 
два решения, при 
одно решение, при 
два решения, при 
три решения, при 
четыре решения, при 
три решения, при 
четыре решения.
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Ответ:
513924
Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»
Методы алгебры: Группировка
который удовлетворяет условию 
при 
и корни 
при положительных a. Корень 
удовлетворяет условию 
— только при 
их два.
их тоже два, поскольку 
(при других a этот корень не совпадает с шестеркой).
их три и они все различны.
их три (поскольку 
При других a этот корень не совпадает с шестеркой)
их четыре, за исключеием случая, когда 
то есть при 
Там три корня.
левая часть уравнения не имеет смысла.
уравнение задаёт прямые 
и гиперболу 
и 
прямые m пересекают прямую 
при любом нулевом значении a, прямую 
пересекают левую ветвь гиперболы 
Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при 
множества значений a, возможно, с включением граничной точки