Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.
Сделаем замену 
Поскольку 
то 
и каждому такому t соответствует единственное 
Получаем задачу — при каких a уравнение 
имеет корень, больший чем 
?
Построим график этого уравнения в плоскости tOa.
Прямые 
и 
разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения 
представляет собой часть параболы.
В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
В области II выражение 
отрицательно, а выражение 
положительно и уравнение принимает вид
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
Для области III получим
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
Для области IV получим
Графиком 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
Задача свелась к ответу на вопрос: при каких значениях a, горизонтальная прямая имеет пересечение с графиком функции правее вертикальной прямой 
(красная линия).
Получаем ответ: при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно четыре решения.
Сделаем замену 
Получим уравнение 
При выполненной замене количество корней не изменяется (каждому значению переменной t соответствует ровно одно значение переменной x). Поэтому новое уравнение также должно иметь ровно 4 решения.
Построим график этого уравнения в плоскости tOa
Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.
В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид
Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами 
В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид
Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами 
Для области III получим
Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами 
Для области IV получим
Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами 
Количество корней определяется количеством точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой.
При  | уравнение не имеет корней, |
при  | уравнение имеет один корень, |
при  | уравнение имеет два корня, |
при  | уравнение имеет три корня, |
при  | уравнение имеет четыре корня, |
при  | уравнение имеет три корня, |
при  | уравнение имеет четыре корня, |
при  | уравнение имеет три корня, |
при  | уравнение имеет два корня, |
при  | уравнение имеет один корень, |
при  | уравнение не имеет корней. |
Ответ: уравнение имеет четыре корня при и при
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра | 2 |
| Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
и при Наверх