ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 513227 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 145

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $логарифм по основанию 2 в квадрате x минус дробь: числитель: 10, знаменатель: x логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: x в квадрате конец дроби \leqslant0.$

Решение.

Преобразуем неравенство, сменив основание и умножив на $x в квадрате$ (не забудем потом учесть, что $x не равно 1,$ $x больше 0$ ).

$левая круглая скобка x логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате минус 10x логарифм по основанию 2 x плюс 16 меньше или равно 0,$

$левая круглая скобка x логарифм по основанию 2 x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x логарифм по основанию 2 x минус 8 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Если $x меньше 1,$ то обе скобки отрицательны, и неравенство не выполняется.

Если же $x больше 1,$ то $x логарифм по основанию 2 x$   — возрастающая функция, причем $x логарифм по основанию 2 x=2$ при $x=2$ и $x логарифм по основанию 2 x=8$ при $x=4.$ Поэтому первая скобка меняет знак при $x=2,$ вторая  — при $x=4.$ Тогда $2 меньше или равно x\leqslant4.$

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка 2; 4 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка 2; 4 правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 513227: 514060 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 145

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д12 C3 № 514060 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log в квадрате _2x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию x 2 конец дроби плюс 2\geqslant0.$

Решение.

Обозначим $логарифм по основанию 2 x=t,$ заметим также, что $x не равно 1.$

$t в квадрате минус 3t плюс 2 больше или равно 0,$ $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0,$

$t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; бесконечность правая круглая скобка ,$ $x принадлежит левая круглая скобка 0; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Учитывая ОДЗ, получаем $x принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 513227: 514060 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе