PDF-версии: 
Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.
а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.
б) Найдите KN, если 
и LM = 1.
Решение. а) Треугольник KOH равнобедренный и трапеция KLMN равнобедренная, поэтому
Значит, прямые OH и MN параллельны, а поскольку прямая OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и KN. Противоположные стороны четырёхугольника NQOH попарно параллельны, следовательно, четырехугольник NQOH — параллелограмм.
б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны MN в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и KHL имеем:
Поэтому
Пусть 
Трапеция KLMN — равнобедренная, поэтому
Следовательно, 
Значит, 
Ответ: б) 3.
Приведем решение Валентина Евстафьева (Санкт-Петербург).
а) Трапеция KLMN равнобедренная, следовательно, угол K равен углу N. В треугольнике KOH отрезки KO и OH — радиусы одной окружности, поэтому этот треугольник равнобедренный, а тогда угол OKH равен углу KHO. Углы KHO и N — соответственные при прямых OH, QN и секущей KN. Значит, прямые OH и QN параллельны. Кроме того, средняя линия трапеции OQ параллельна основанию KN. Таким образом, в четырехугольнике HOQN противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм.
б) Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке B. Треугольники KBN и KOH подобные и равнобедренные с углом 30° при вершине. Треугольник OPB — прямоугольный с углом 30°, следовательно, 
При этом 
Следовательно, 
и 
Таким образом, 
Примечание.
Еще один вариант решения пункта б) приведен в задании 519904.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Значит, 
и что OQ — средняя линия трапеции. Следовательно, 
Треугольник AOH — равнобедренный, AH = R. В параллелограмме противоположные стороны равны: HD = OQ. Кроме того 
то есть 
Получаем:
