Ре­ше­ние. Пусть в пер­вом взво­де k сол­дат, во вто­ром l сол­дат. Тогда числа k и l имеют общий де­ли­тель, боль­ший 7, и при этом:

а)  На­при­мер, 54 и 63 сол­да­та. Вме­сте 117, их можно по­стро­ить в ко­лон­ну по 9 че­ло­век в ряду так, что 6 рядов будет за­пол­не­но сол­да­та­ми толь­ко из пер­во­го взво­да, а 7 рядов  — толь­ко из вто­ро­го.

б)  Пред­по­ло­жим, что общий де­ли­тель 11. Тогда, учи­ты­вая, что 50 < k < 60, по­лу­ча­ем, что k  =  55. Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние l равно 55 + 11  =  66, но вме­сте по­лу­ча­ет­ся 121 че­ло­век, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

в)  Число l − k боль­ше нуля и де­лит­ся на общий де­ли­тель чисел k и l, по­это­му l − k ≥ 8, k − l ≤ −8, что вме­сте с усло­ви­ем k + l ≤ 119 при­во­дит к не­ра­вен­ству 2k ≤ 111, то есть k ≤ 55. При этом k + d ≤ l ≤ 119 − k, где d  — наи­мень­ший общий де­ли­тель, пре­вос­хо­дя­щий 7.

Если k  =  51  =  3 · 17, то d  =  17, l  =  68, а в роте 119 сол­дат.

Если k  =  52  =  4 · 13, то 65 ≤ l ≤ 67. Тогда l  =  65, общий де­ли­тель 13 и k + l  =  117.

Если k  =  53, то 53 + 53  =  106 ≤ l ≤ 66 . Про­ти­во­ре­чие.

Если k  =  54 = 6 · 9, то 54 + 9  =  63 ≤ l ≤ 65. Тогда l  =  63, общий де­ли­тель равен 9, и в роте 117 сол­дат.

Если k  =  55  =  5 · 11, то 66 ≤ l ≤ 64, но числа 63 и 64 вза­им­но про­сты с 55. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  на­при­мер, 54 и 63; б)  нет; в)  117 и 119.

Ре­ше­ние. Пусть в пер­вом взво­де k сол­дат, во вто­ром l сол­дат. Тогда числа k и l имеют общий де­ли­тель, боль­ший 8, и при этом

а)  На­при­мер, 50 и 60 сол­дат. Вме­сте 110, их можно по­стро­ить в ко­лон­ну по 10 че­ло­век в ряду так, что 5 рядов будет за­пол­не­но сол­да­та­ми толь­ко из пер­во­го взво­да, а 6 рядов  — толь­ко из вто­ро­го.

б)  Пред­по­ло­жим, что общий де­ли­тель 13. Тогда, учи­ты­вая, что , по­лу­ча­ем, что k  =  52. Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние l равно 52 + 13  =  65, но вме­сте по­лу­ча­ет­ся 117 че­ло­век, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

в)  Число l − k боль­ше нуля и де­лит­ся на общий де­ли­тель чисел k и l, по­это­му l − k ≥ 9; k − l ≤ −9, что вме­сте с усло­ви­ем k + l ≤ 110 при­во­дит к не­ра­вен­ству 2k ≤ 101, то есть k ≤ 50. При этом k + d ≤ l ≤ 110 − k, где d  — наи­мень­ший общий де­ли­тель, пре­вос­хо­дя­щий 8.

Если k  =  47 , то d  =  47, 47 + 47  =  94 ≤ 110 − 47  =  63. Про­ти­во­ре­чие.

Если k  =  48, то d  =  12, l  =  60, а в роте 108 сол­дат.

Если k  =  49, то 98 ≤ l ≤ 110 − 49  =  61. Про­ти­во­ре­чие.

Если k  =  50, то d  =  10, l  =  60, а в роте 110 сол­дат.

Ответ: а)  на­при­мер, 50 и 60; б)  нет; в)  108 и 110.

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, 50 и 60 сол­дат по 10 че­ло­век в ряду.

б)  Не­об­хо­ди­мо, чтобы в обеих ротах было ко­ли­че­ство че­ло­век, крат­ное 13. Но два наи­мень­ших числа, крат­ных 13 и боль­ших 46, это числа 52 и 65, чья сумма со­став­ля­ет 117, что есть боль­ше, чем 111. Сле­до­ва­тель­но, при­шли к про­ти­во­ре­чию.

в)  Из пунк­та б) из­вест­но, что 13 сол­дат в одном ряду быть не может. Легко про­ве­рить, что 14, 15 также быть не может. Боль­шее ко­ли­че­ство также быть не может, так как тогда общее ко­ли­че­ство будет боль­ше, чем Зна­чит, нужно про­ве­рять толь­ко ва­ри­ан­ты 9, 10, 11 и 12 че­ло­век в ряду.

Пусть 9 сол­дат в ряду. Тогда воз­мож­ное общее ко­ли­че­ство таких людей 99 или 108. Пред­по­ло­жим, что их 99, тогда в пер­вом взво­де может быть 47, 48, 49 че­ло­век, во вто­ром  — 52, 51, 50 че­ло­век со­от­вет­ствен­но. Ни одна из этих пар не де­лит­ся на 9, по­это­му дан­ное ре­ше­ние не под­хо­дит. Для 108 людей в роте: пер­вый взвод  — 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53 вто­рой  — 61, 60, 59, 58, 57, 56 55. Так же как и в пер­вом слу­чае, по­лу­чи­ли, что под­хо­дя­щих пар, де­ля­щих­ся на 9, нет.

Пусть 10 сол­дат в ряду, тогда в роте может быть 100 и 110 че­ло­век. Вы­пол­няя ана­ло­гич­ное рас­суж­де­ние, по­лу­ча­ем, что в роте не может быть 100 че­ло­век, но может быть 110 (как по­ка­за­но в пунк­те 1).

Пусть 11 сол­дат в ряду. В роте может быть 99 и 110 че­ло­век. Выше по­ка­за­но, что 99 че­ло­век в роте быть не может, а 110 че­ло­век может.

Пусть 12 сол­дат в ряду, тогда в роте может быть 96 и 108 че­ло­век. Для 96 че­ло­век в роте ре­ше­ний нет, для 108 че­ло­век в роте в пер­вом взво­де  — 48 че­ло­век, во вто­ром  — 60, что удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  на­при­мер, 50 и 60; б)  нет; в)  108 или 110.