а)  В плос­ко­сти ABP через точку K про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой PB до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой AB в точке L  — се­ре­ди­не AB. В ос­но­ва­нии ABCD через точку L про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой BC до пе­ре­се­че­ния ее с реб­ром СD в точке M  — его се­ре­ди­не. По при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость KLM па­рал­лель­на пря­мым PB и BC. Пря­мая LM па­рал­лель­на пря­мой AD, сле­до­ва­тель­но, она па­рал­лель­на плос­ко­сти APD, а зна­чит, плос­кость KLM пе­ре­се­ка­ет плос­кость APD по пря­мой, па­рал­лель­ной LM, и пе­ре­се­ка­ет ребро PD в его се­ре­ди­не N.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое се­че­ние  ― тра­пе­ция KLMN.

б)  От­рез­ки KL и MN равны, как сред­ние линии рав­ных пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABP и DCP, а от­ре­зок LM  ― сред­няя линия квад­ра­та ABCD, сле­до­ва­тель­но, по­стро­ен­ное се­че­ние  ― рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой LM  =  4, KL  =  KN  =  MN  =  2. Про­ве­дем вы­со­ту KF этой тра­пе­ции. Тогда и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLF на­хо­дим

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Ответ:

а)  В плос­ко­сти ABP через точку K про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой BP до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой AB в точке G, а в плос­ко­сти ABC через точку G про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой BC до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой DC в точке F. По при­зна­ку па­рал­лель­но­сти двух плос­ко­стей плос­кость KFG па­рал­лель­на плос­ко­сти BCP. Пря­мая FG па­рал­лель­на пря­мой AD, сле­до­ва­тель­но, она па­рал­лель­на плос­ко­сти APD, а, зна­чит, плос­кость KFG пе­ре­се­ка­ет плос­кость APD по пря­мой, па­рал­лель­ной FG. Обо­зна­чим через E точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с реб­ром DP.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое се­че­ние ― тра­пе­ция EFGK.

б)  Плос­кость EFG па­рал­лель­на плос­ко­сти BCP, зна­чит, Про­ве­дем вы­со­ту PN тре­уголь­ни­ка BCP и со­еди­ним точку N с ос­но­ва­ни­ем O вы­со­ты пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок ON также пер­пен­ди­ку­ля­рен BC, а, зна­чит, угол PNO ― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла PBCO.

По­сколь­ку из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PNO на­хо­дим от­ку­да окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Ответ:

В плос­ко­сти ABP через точку K про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой PB до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой AB в точке L, а в плос­ко­сти ABC через точку L про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой BC до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой в точке По при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость KLM па­рал­лель­на пря­мым PB и Пря­мая LM па­рал­лель­на пря­мой AD, сле­до­ва­тель­но, она па­рал­лель­на плос­ко­сти APD, а, зна­чит, плос­кость KLM пе­ре­се­ка­ет плос­кость APD по пря­мой, па­рал­лель­ной Обо­зна­чим через N точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с реб­ром

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое се­че­ние ― тра­пе­ция

б)  От­рез­ки KL и MN равны, как сред­ние линии рав­ных пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABP и DCP, а от­ре­зок LM ― сред­няя линия квад­ра­та ABCD, сле­до­ва­тель­но, по­стро­ен­ное се­че­ние ― рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой Про­ве­дем вы­со­ту KF этой тра­пе­ции. Тогда и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLF на­хо­дим Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Ответ: