ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д8 C1 № 508196 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы понижения степени

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $2 синус в квадрате x плюс косинус 4x=0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$2 синус в квадрате x плюс косинус 4x=0 равносильно 1 минус косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x минус 1=0 равносильно$

$равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус косинус 2x=0 равносильно 2 косинус 2x левая круглая скобка косинус 2x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус 2x=0 , новая строка косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,n принадлежит Z , новая строка x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Б)  Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.

$x_1=3 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;x_2=3 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,n принадлежит Z;\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z.$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508196: 511216 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д8 C1 № 511216 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента, Формулы понижения степени

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

Дано уравнение $2 косинус 2x плюс 8 синус x=5.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;5 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Последовательно получаем:

$2 косинус 2x плюс 8 синус x=5 равносильно 3 плюс 2 минус 2 косинус 2x минус 8 синус x=0 равносильно$

$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 8 синус x плюс 3=0 равносильно 4 синус в квадрате x минус 8 синус x плюс 3=0 равносильно$

$равносильно синус x= дробь: числитель: 4\pm корень из: начало аргумента: 16 минус 12 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно синус x= дробь: числитель: 4\pm 2, знаменатель: 4 конец дроби равносильно$

$равносильно$   $совокупность выражений новая строка синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

Уравнение $синус x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ решений не имеет.

б)  Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.

$x_1= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_2=4 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;x_3=5 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 29 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 508196: 511216 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе