а)  На­при­мер, можно ку­пить 14 крас­ных и 18 синих ка­ран­да­шей:

б)  Де­шев­ле всего 35 ка­ран­да­шей будут сто­ить, если ку­пить наи­боль­шее воз­мож­ное число синих ка­ран­да­шей и наи­мень­шее воз­мож­ное число крас­ных, то есть если ку­пить 15 крас­ных и 20 синих, по­сколь­ку если крас­ных мень­ше 15, то синих боль­ше 20, и в этом слу­чае раз­ность между чис­лом крас­ных и синих боль­ше чем 5. Но тогда сто­и­мость по­куп­ки

что боль­ше, чем име­ю­ща­я­ся сумма 495 руб­лей.

в)  Пусть n и m  — число синих и крас­ных ка­ран­да­шей со­от­вет­ствен­но. Тогда

По­ло­жим s  =  n + m, тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Можно ку­пить не боль­ше 33 ка­ран­да­шей. Оста­лось про­ве­рить, воз­мо­жен ли слу­чай, когда s  =  33. При m  =  14, n  =  19 по­лу­ча­ем

Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное число ка­ран­да­шей 33.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  33.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Инны Ни­ки­ти­ной.

Крас­ный ка­ран­даш до­ро­же си­не­го, по­это­му для того, чтобы куп­лен­ное ко­ли­че­ство ка­ран­да­шей было мак­си­маль­ным, надо по­ку­пать синие ка­ран­да­ши. Но если куп­ле­но n синих ка­ран­да­шей, то не­об­хо­ди­мо ку­пить хотя бы n − 5 крас­ных. Тогда сумма по­куп­ки со­ста­вит 13n + 17(n − 5). По усло­вию

Сто­и­мость 19 синих ка­ран­да­шей со­ста­вит 13 · 19  =  247 руб­лей, и для по­куп­ки крас­ных ка­ран­да­шей оста­нет­ся 495 − 247  =  248 рубля, этого хва­тит для по­куп­ки 14 крас­ных ка­ран­да­шей. Сле­до­ва­тель­но, всего можно ку­пить 19 + 14  =  33 ка­ран­да­ша.

а)  На­при­мер, можно ку­пить 12 крас­ных и 18 синих ка­ран­да­шей:

б)  Де­шев­ле всего 33 ка­ран­да­ша будут сто­ить, если ку­пить наи­боль­шее воз­мож­ное число синих ка­ран­да­шей и наи­мень­шее воз­мож­ное число крас­ных, то есть если ку­пить 14 крас­ных и 19 синих, по­сколь­ку если крас­ных мень­ше 14, то синих боль­ше 19, и в этом слу­чае раз­ность между чис­лом крас­ных и синих боль­ше чем 6. Но тогда сто­и­мость по­куп­ки

что боль­ше, чем име­ю­ща­я­ся сумма 499 руб­лей.

в)  Пусть n и m  — число синих и крас­ных ка­ран­да­шей со­от­вет­ствен­но. Тогда

По­ло­жим s = n + m, тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Можно ку­пить не боль­ше 31 ка­ран­да­ша. Оста­лось про­ве­рить, воз­мо­жен ли слу­чай, когда s = 31. При m = 13, n  =  18 по­лу­ча­ем

Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное число ка­ран­да­шей  — 31.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  31.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та в) Инны Ни­ки­ти­ной.

Крас­ный ка­ран­даш до­ро­же си­не­го, по­это­му для того, чтобы куп­лен­ное ко­ли­че­ство ка­ран­да­шей было мак­си­маль­ным, надо по­ку­пать синие ка­ран­да­ши. Но если куп­ле­но n синих ка­ран­да­шей, то не­об­хо­ди­мо ку­пить хотя бы n − 6 крас­ных. Тогда сумма по­куп­ки со­ста­вит 14n + 18(n − 6). По усло­вию

сле­до­ва­тель­но, n  =  18.

Сто­и­мость 18 синих ка­ран­да­шей со­ста­вит 14 · 18  =  252 рубля, и для по­куп­ки крас­ных ка­ран­да­шей оста­нет­ся 499 − 252  =  247 руб­лей, этого хва­тит для по­куп­ки 13 крас­ных ка­ран­да­шей. Сле­до­ва­тель­но, всего можно ку­пить 18 + 13  =  31 ка­ран­даш.

а)  Да, на­при­мер, 16 крас­ных и 16 синих  — всего 480 руб­лей.

б)  Пусть x  — ко­ли­че­ство синих ка­ран­да­шей. По­сколь­ку синие ка­ран­да­ши де­шев­ле, то для наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства ка­ран­да­шей надо ку­пить их боль­ше, чем крас­ных.

Тогда всего 2x − 5 = 33.

По­лу­чи­ли не­це­лый x. Про­ве­рим дру­гой слу­чай:

Тогда всего Таким об­ра­зом, воз­мож­но ку­пить 33 ка­ран­да­ша мак­си­мум. Сле­до­ва­тель­но, 35 ка­ран­да­шей ку­пить нель­зя.

в)  В пунк­те б) до­ка­за­но, что воз­мож­но ку­пить мак­си­мум 33 ка­ран­да­ша.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  33.

а)  На­при­мер, можно ку­пить 12 крас­ных и 18 синих ка­ран­да­шей:

б)  Де­шев­ле всего 33 ка­ран­да­ша будут сто­ить, если ку­пить наи­боль­шее воз­мож­ное число синих ка­ран­да­шей и наи­мень­шее воз­мож­ное число крас­ных, то есть если ку­пить 14 крас­ных и 19 синих, по­сколь­ку если крас­ных мень­ше 14, то синих боль­ше 19, и в этом слу­чае раз­ность между чис­лом крас­ных и синих боль­ше чем 6. Но тогда сто­и­мость по­куп­ки

что боль­ше, чем име­ю­ща­я­ся сумма 499 руб­лей.

в)  Пусть n и m  — число синих и крас­ных ка­ран­да­шей со­от­вет­ствен­но. Тогда

По­ло­жим s = n + m, тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Можно ку­пить не боль­ше 31 ка­ран­да­ша. Оста­лось про­ве­рить, воз­мо­жен ли слу­чай, когда s = 31. При m = 13, n  =  18 по­лу­ча­ем

Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное число ка­ран­да­шей 31.

Ответ: а) да; б) нет; в) 31.