ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 505569 Добавить в вариант

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике

Классификатор алгебры: Левая и правая части в качестве отдельных графиков

Методы алгебры: Введение замены, Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Определите, при каких значениях параметра a уравнение

$|x минус 2|=a логарифм по основанию 2 |x минус 2|$

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть $|x минус 2|=t,$ тогда уравнение принимает вид

$t=a логарифм по основанию 2 t, левая круглая скобка * правая круглая скобка$

где $t больше 0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.

Если $a=0,$ то уравнение не имеет решений.

Если $a меньше 0,$ то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если $a больше 0$ уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая $y=t$ касается графика функции $y=a логарифм по основанию 2 t$ (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

$система выражений новая строка t'= левая круглая скобка a логарифм по основанию 2 t правая круглая скобка ', новая строка t=a логарифм по основанию 2 t конец системы . равносильно система выражений новая строка 1= дробь: числитель: a, знаменатель: t натуральный логарифм 2 конец дроби , новая строка t=a логарифм по основанию 2 t конец системы . равносильно система выражений новая строка t= дробь: числитель: a, знаменатель: натуральный логарифм 2 конец дроби , новая строка t= дробь: числитель: a натуральный логарифм t, знаменатель: натуральный логарифм 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка a=t натуральный логарифм 2, новая строка натуральный логарифм t=1 конец системы . равносильно система выражений новая строка a=e натуральный логарифм 2, новая строка t=e. конец системы .$ $система выражений новая строка t'= левая круглая скобка a логарифм по основанию 2 t правая круглая скобка ', новая строка t=a логарифм по основанию 2 t конец системы . равносильно система выражений новая строка 1= дробь: числитель: a, знаменатель: t натуральный логарифм 2 конец дроби , новая строка t=a логарифм по основанию 2 t конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка t= дробь: числитель: a, знаменатель: натуральный логарифм 2 конец дроби , новая строка t= дробь: числитель: a натуральный логарифм t, знаменатель: натуральный логарифм 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка a=t натуральный логарифм 2, новая строка натуральный логарифм t=1 конец системы . равносильно система выражений новая строка a=e натуральный логарифм 2, новая строка t=e. конец системы .$

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ: $a меньше 0,$ $a=e натуральный логарифм 2.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $a меньше 0,$ $a=e натуральный логарифм 2.$

Аналоги к заданию № 505569: 654455 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 3 комментария · Помощь

Тип 18 № 654455 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Определите, при каких значениях параметра a уравнение

$a|x плюс 2|= логарифм по основанию 3 |x плюс 2|$

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть $|x плюс 2|=t,$ тогда уравнение принимает вид

$at= логарифм по основанию 3 t, левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Если $a меньше или равно 0,$ то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если $a больше 0$ уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая $y=at$ касается графика функции $y= логарифм по основанию 3 t$ (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

$система выражений новая строка a = левая круглая скобка логарифм по основанию 3 t правая круглая скобка ', новая строка at= логарифм по основанию 3 t конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t натуральный логарифм 3, новая строка at= логарифм по основанию 3 t конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t натуральный логарифм 3, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби натуральный логарифм 3 = дробь: числитель: натуральный логарифм t, знаменатель: натуральный логарифм 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t натуральный логарифм 3, новая строка натуральный логарифм t=1 конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e натуральный логарифм 3, новая строка t=e. конец системы .$ $система выражений новая строка a = левая круглая скобка логарифм по основанию 3 t правая круглая скобка ', новая строка at= логарифм по основанию 3 t конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t натуральный логарифм 3, новая строка at= логарифм по основанию 3 t конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t натуральный логарифм 3, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби натуральный логарифм 3 = дробь: числитель: натуральный логарифм t, знаменатель: натуральный логарифм 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t натуральный логарифм 3, новая строка натуральный логарифм t=1 конец системы . равносильно система выражений новая строка a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби e натуральный логарифм 3, новая строка t=e. конец системы .$

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ: $a меньше или равно 0,$ $a= дробь: числитель: логарифм по основанию 3 e, знаменатель: e конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $a меньше или равно 0,$ $a= дробь: числитель: логарифм по основанию 3 e, знаменатель: e конец дроби .$

Аналоги к заданию № 505569: 654455 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе